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東工大 物理問題 教えて 最小二乗法
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「求めよ」って命令してますか? 問題の前提にしたがって xiの誤差 = yiの誤差 = εi と置くと、 1個のデータ(xi、yi)につき yi - εi = a(xi - εi) が成り立ちます。 式変形すると、 yi - εi = axi - aεi aεi - εi = axi - yi (a-1)εi = axi - yi εi = (axi - yi)/(a-1) 2乗誤差 = εi^2 = (axi - yi)^2/(a-1)^2 = a^2xi^2/(a-1)^2 + yi^2/(a-1)^2 - 2axiyi/(a-1)^2 全データの2乗誤差の合計をSと置くと、 S = Σ[i=1⇒N]εi^2 = Σ[i=1⇒N]{a^2xi^2/(a-1)^2 + yi^2/(a-1)^2 - 2axiyi/(a-1)^2} = Σ[i=1⇒N]a^2xi^2/(a-1)^2 + Σ[i=1⇒N]yi^2/(a-1)^2 - Σ[i=1⇒N]2axiyi/(a-1)^2 = a^2/(a-1)^2・Σ[i=1⇒N]xi^2 + 1/(a-1)^2・Σ[i=1⇒N]yi^2 - 2a/(a-1)^2・Σ[i=1⇒N]xiyi 2乗誤差の合計Sを最小(極小)にするから最小二乗法です。 ですから、Sをaで微分してゼロになる条件を決定することが、aの最確値を求めることと同じになります。 なお、考え方ですが、Sを微分するに当たって、 Σ[i=1⇒N]xi^2 Σ[i=1⇒N]yi^2 Σ[i=1⇒N]xiyi の3つは定数で、解答にはこのままの形で残ります。 なぜならば、xi、yi はデータだからです。 そして、逆に、aが変数です。 ですから、この問題は、実は、 a^2/(a-1)^2 1/(a-1)^2 a/(a-1)^2 の3つを a で微分しなさい、という問題なのでした。
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