東工大 物理問題 教えて 最小二乗法

質問

ｙ＝ax
xを変えながら測定を行い、Ｎ組の測定値xi,yiを得た
最小二乗法を用いてaの最確値を表す式を求めよ
ｘ、ｙの各測定における測定誤差は等しいとする

回答No.1

sanori · ベストアンサー

「求めよ」って命令してますか？

問題の前提にしたがって
ｘiの誤差　＝　ｙiの誤差　＝　εi
と置くと、
１個のデータ（ｘi、ｙi）につき
ｙi　－　εi　＝　ａ（ｘi　－　εi）
が成り立ちます。

式変形すると、
ｙi　－　εi　＝　ａｘi　－　ａεi
ａεi　－　εi　＝　ａｘi　－　ｙi
（ａ－１）εi　＝　ａｘi　－　ｙi
εi　＝　（ａｘi　－　ｙi）／（ａ－１）

２乗誤差　＝　εi^2
　＝　（ａｘi　－　ｙi）^2／（ａ－１）^2
　＝　ａ^2ｘi^2／（ａ－１）^2　＋　ｙi^2／（ａ－１）^2　－　２ａｘiｙi／（ａ－１）^2

全データの２乗誤差の合計をＳと置くと、
Ｓ　＝　Σ[i=1⇒N]εi^2
　＝　Σ[i=1⇒N]｛ａ^2ｘi^2／（ａ－１）^2　＋　ｙi^2／（ａ－１）^2　－　２ａｘiｙi／（ａ－１）^2｝
　＝　Σ[i=1⇒N]ａ^2ｘi^2／（ａ－１）^2　＋　Σ[i=1⇒N]ｙi^2／（ａ－１）^2　－　Σ[i=1⇒N]２ａｘiｙi／（ａ－１）^2
　＝　ａ^2／（ａ－１）^2・Σ[i=1⇒N]ｘi^2　＋　１／（ａ－１）^2・Σ[i=1⇒N]ｙi^2　－　２ａ／（ａ－１）^2・Σ[i=1⇒N]ｘiｙi

２乗誤差の合計Ｓを最小（極小）にするから最小二乗法です。
ですから、Ｓをａで微分してゼロになる条件を決定することが、ａの最確値を求めることと同じになります。

なお、考え方ですが、Ｓを微分するに当たって、
Σ[i=1⇒N]ｘi^2
Σ[i=1⇒N]ｙi^2
Σ[i=1⇒N]ｘiｙi
の３つは定数で、解答にはこのままの形で残ります。
なぜならば、ｘi、ｙi　はデータだからです。
そして、逆に、ａが変数です。

ですから、この問題は、実は、
ａ^2／（ａ－１）^2
１／（ａ－１）^2
ａ／（ａ－１）^2
の３つを　ａ　で微分しなさい、という問題なのでした。