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最小二乗法の分母について
http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lms/lms1.html 上記サイト等でも最小二乗法によって求めるy=ax+bのaとbには共に nΣ(Xi)^2-(ΣXi)^2となっていますが これらが0にならないのは何故でしょうか。 0になるようなことはないのでしょうか。 詳しく証明していただけるとありがたいです。
- continuaaa
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- hitokotonusi
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>これは何故でしょうか。 それでは、<(x-<x>)^2> = [Σ(xi-<x>)^2]/nからやります。 (これは平均の定義です。) <(x-<x>)^2> = [Σ(xi-<x>)^2]/n = [Σ(xi^2 - 2xi<x> + <x>^2)]/n = [Σxi^2]/n - 2([Σxi]/n)<x> + <x>^2 ([Σ1]/n) = <x^2> - 2<x><x> + <x>^2 平均<x>はΣの添え字iによる和には関係ない量で定係数として扱えます。 わかりにくければ#1さんのように、<x>の代わりにmとでも置いてください。 また、Σ1は1をn回加えるのでΣ1=nです。 ( あるいは、Σ<x>^2は<x>^2をn回加えるのでΣ<x>^2=n<x>^2 )
- hitokotonusi
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最小二乗法を使うときのxiというのは、必要なxの範囲の中にできるだけ散らばるようにとります。(普通は等間隔に。) xの値が散らばっている場合にはこの分母は0にはなりません。 全てのxが同じ値のときには0になりますが、 xの値を変えたときのyの変化を知りたいというときに、 xの値を変えないまま測定を行うということはありえませんよね。 >詳しく証明していただけるとありがたいです。 と言うことなので、この分母をn^2で割り、これをVと置きます。 すると、 V = [nΣ(Xi)^2-(ΣXi)^2]/n^2 = [Σ(Xi)^2]/n-(ΣXi/n)^2 = <x^2> - <x>^2 ここで、<>は平均を表します。 一方、<(x-<x>)^2>という量を考えてみると、 <(x-<x>)^2>=<x^2 - 2x<x> + <x>^2> = <x^2>-2<x><x>+<x>^2 = <x^2>-<x>^2 となるので、これはVに等しく、 V=<(x-<x>)^2> = [Σ(xi-<x>)^2]/n = [(x1-<x>)^2 + (x2-<x>)^2 + ・・・+(xn-<x>)^2]/n 二乗しているのでxiが平均値<x>に等しくない場合は各項は必ず正になりますから、Sが0になるのは全てのxiが<x>に等しい場合のみです。 そして、最小二乗法を使うような場合には、xiがすべて等しくなるような実験条件にはしません。
補足
>一方、<(x-<x>)^2>という量を考えてみると、 <(x-<x>)^2>=<x^2 - 2x<x> + <x>^2> = <x^2>-2<x><x>+<x>^2 = <x^2>-<x>^2 この部分がいまいちよくわからないのですが、 <x^2 - 2x<x> + <x>^2> = <x^2>-2<x><x>+<x>^2 これは何故でしょうか。 お願いします。
- Tacosan
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あっと, ケアレスミスがあります. Σ(Xi - m)^2 ではなくその n倍と等しくなります.
- Tacosan
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Xi の平均を m とすると, これは Σ(Xi - m)^2 と等しくなります (確認してみてください). 従って, 全ての Xi が等しければ 0 になりますが, そうでなければ 0 にはなりません. そして, 「全ての Xi が等しい」ときには「最適な式」は x = Xi であり, y = ax+b という形で書くことはできません.
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お礼
たいへんわかりやすかったです。 ありがとうございました。 ばっちり納得することができました!