• 締切済み

行列の計算 条件を満たす行列の最小値

行列の問題で手こずっています. 問題は以下のようになっています. ■ A・XT = a , B・XT = b の二つの式が与えられています. (ここで,A Bは既知の1行n列の行列,a bは既知のスカラー, Xは1行n列の行列,XTはXの転置行列とします.) 二つの式の条件の中で,|X|を最小にするXを求めたいと思っているのですが, 解き方がわかりません.. 詳しい方がいらしたら,どうかご教授願います.

みんなの回答

noname#130496
noname#130496
回答No.2

どういう知識を前提としていいのか分かりませんが ・擬逆行列(ムーア・ペンローズ行列)について線形代数の本で調べることから始める ・ラグランジュ乗数法で最大化の必要条件を求める所から始める といった道があります。 2条件を満たすXが存在するためのA、B、a、bに関する条件にも注意する。

sorokuku
質問者

お礼

ありがとうございます. いただいた情報をもとに,図書館などで調べてみます.

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

|X| とは何?

sorokuku
質問者

補足

|X|は,ここではX・XTのルートとして表したつもりです. 厳密な表記ではないかもしれませんが..

関連するQ&A

  • ある行列とその転置行列の積の逆行列は?

    今エクセルで行列を使って問題を解いています。 問題は 行列X、A、Yがあり、Xは1行4列、Aは1行2列、Yは1行4列です。 X・A=Y という式があり、Aの行列は未知数a,bの要素からなっています。 X,Yはそれぞれ数値として要素が決まっています。 ここからはヒントとして表示されていました。 そこでXの逆行列を両辺の左からかけるとAは求まるはずですが、 Xは正方行列ではないので、Xの転置行列を左からかけます。 X(T)・Xは正方行列になるのでこれを行列Pとおくと Pの逆行列を求められ、右辺にP^-1をかけるとAが求まる。 というものです。 エクセルで書かれている通りにやってみて、エラーになるので調べてみると、XとXの転置行列の積の行列式は要素にかかわらず0になるようです。 実際に数値ではなく、abcdでやってみたところ0のようです。 この場合、逆行列は存在しないのではないかと思いますが、このヒントが間違っているとはあまり思えず、困っています。 補足ですが、この問題は最小二乗法をエクセルで行列を用いて行うという趣旨です。 もとのデータとして(x、y)の座標が4点与えられており、行列Xはxの要素を縦にならべたもの、Aは最小二乗法で求める一次関数式のパラメーターa,bで、YはXと同様座標のy要素です。 私の理解が間違っていて、何行何列という部分に誤りがあるなどの指摘があれば、ぜひお願いいたします。 そもそもある行列とその転置行列の積の逆行列は存在するのかどうかもお願いします。 締め切りが近く、ちょっとあせっています。 よろしくお願いします!!

  • 最小二乗法の過程で分散共分散行列が・・・・

    最小二乗法の過程で分散共分散行列が目にしました。 重回帰モデルが y=Xβ+ε で与えられるとき、最小二乗法を施すと βの期待値bが (XT・X)-1・XT・yで表せるのですが、 (ただし、XTは行列Xの転置行列、-1は逆行列を表します。) 大事なのがここからで、 この (XT・X)-1  というものが、有名な形らしく、分散共分散行列と呼ばれるらしいのです。 どうして、この行列が分散を表す行列になるのかが、いまいちつかめないのです。ご存知の方がいらっしゃいましたらぜひ教えてください。 助けてください!!よろしくお願いします!!

  • 行列の計算

    A=(6 2)    B=(1 1)    (2 6)      (1 0) があって、(AとBは2行2列の行列です。表記の仕方はそう思ってください) D=A^(-1)+A^(-1)×B×(I -B'×A^(-1)×B)^(-1) ×B'×A^(-1) を求めよ。という問題があったのですが、普通に計算していけば答えは出ます。ただ、もっと上手な解法があるのかが気になります。あるようであれば、教えていただけると幸いです。 (A^(-1) は Aの逆行列、B'は Bの転置行列、Iは単位行列です)

  • 行列の積 内積 の関係について

    行列の積 内積 の関係について 行列の積と内積は同じであると説明があったのですが、 よく分かりません・・・ 例えば、A=(3、-2,1),B=(4,6,7)のベクトルの内積は A・B=(3×4)+(-2×6)+(1×7)=7となるのですが、 行列の積は(1行3列)×(1行3列)で計算できません。 どちらかのベクトルを転置化すれば計算できるのですが・・・ 列ベクトルや行ベクトルは転置しても同じベクトルなのでOKと言う事でしょうか? 内積の演算結果はスカラー(数値)で、行列の積の演算結果は 行列と認識しているのですがこの認識は誤りでしょうか? 列ベクトルや行ベクトルの積の場合はスカラーとなるのでしょうか? A=(3、-2,1),B=(4,6,7)において、ベクトルBを転置化してtBとすれば A×tB=(7)となります。これはスカラーとなりますでしょうか? (追加質問) また、以前ノルムに関して質問させて頂きました。 ご回答頂いた内容で大凡理解できたのですが、追加で一点だけ質問させて下さい。 VのベクトルAに対して、ノルムは ||A||=√(A・A)とされますが、これを||A||=√(A^2)と表記するのはおかしいのでしょうか?

  • 正定値行列の最大・最小

    正定値行列の最大・最小 行列の問題で以下の問題が分からないので、分かる方はヒントをいただければと思います。 一応画像を張っておきますが(張れてないかも・・・)見えにくい(見えない)場合は、下に同じ表現の文章を書いていますので下の文章を見てください。 Aをp次対称行列,bをp次元ベクトルとす。このときfを f(x1,x2,・・・,xp) = x^tAx + (b,x) (-∞<xi<+∞) と、定義する。 (1)Aが正定値行列であるとき、fの最大値、最小値を求めよ。 (2)Aが非不正定値行列でbがM(A)の元でないとき、fの最大・最小を求めよ。ただしM(A)は行列Aの縦ベクトルが張る線形部分空間を表す。 初めのfの定義でのx^tはxの転置行列、(b、x)はbとxの内積を表しています。 よろしくお願いします。

  • 行列について

    テスト勉強で解けない問題がありました。 (1) Aを2*2の行列とする。 (a)すべての2*2行列Xに対して     (b)AはKEという形でないとする、このとき     AX=XA                   AX=XA       が成立するなら               となる2*2行列Xは     A=KE                    X=pA+qE (p,q:数)    であることを示せ。            であることを示せ。 (2)Aを2*2行列とするとき、A^nの   求め方を論ぜよ。   途中式も含めて教えてください(-_-;) よろしくお願いします。    

  • 行列の和の逆行列について

    情報処理系の数学(カルマンフィルタとか)では(A+B+C)^(-1)とか(A+BCF)^(-1)のように行列の和(あるいは行列と行列の積の和)の逆行列の表式があり、公式のようなものが与えられていたりします。その中で例えば(A+B+C)^(-1)でA,B,Cとは何かと言うと行列(普通は正方行列?)なわけですが、例えば単に1つの値(スカラー)であった場合は逆数というのは自然な拡張としてあり得ると思います。1行1列の行列の対角成分だけの行列と見なすわけです。これはいいだろうと思います。問題はAなどがベクトルだったときです。これは計算できないということでいいでしょうか。ベクトルだったら1行N列の行列(N行1列でも)ということであり、逆行列が定義できないということになるでしょうか。カルマンフィルタなどではベクトルではないかと思うものが式の中に入っているのですが。Rで実験してみるとAの逆行列はsolve(A)だけで求まります。Aがスカラーだったら予想どおり逆数なります。ベクトルだったらエラーです。やはりベクトルだと当然ダメということでしょうか。

  • 行列の推定について

    Y=[x y]で、Yは20行2列の行列とします。 (xとyも行列で、各々20行1列の行列です) U=[Ux UY]で、Yと同様に20行2列の行列とします。 (UxとUyも行列で、各々20行1列の行列です) 今、YとUの行列のすべての値が分かっているとします。 この時、Y=A*Uという関係を満たす行列Aはどの様にして求めたらいいでしょうか? 私は、最小二乗法を試しました。 http://www.eli.hokkai-s-u.ac.jp/~kikuchi/ma2/chap08.htmlを参考にして、 A=inv(U'*U)*U'Y としました。 invは逆行列、U'はUの転置行列を表します。 上記の最小二乗法で、Aを求めることは正解なのでしょうか? また、最小二乗法を実行すると、Aに誤差が生じますよね。 その誤差はどのようにして計算したら、よろしいのでしょうか? y=ax+bの様なものに対する誤差伝播法はわかるのですが、Y=A*Uのような行列に対する誤差伝播法はわかりません。

  • 方程式の解き方を教えてください。

    逆行列を ^(-1) で、転置を ^T で表すことにします。 k:自然数 Δ:既知のスカラー値 A:既知の、kに依存しない10×10行列 y:既知のkに依存するスカラー値 b:未知のkに依存しない10×1ベクトル c:未知のkに依存しない10×1ベクトル E:10×10単位行列 とします。これらが次の式を満たす時のb,cを求めたいのです。  y(kΔ) = c^T A^(-1) (exp(kAΔ)-E)b (k=1,2,3,.....) この制約式を厳密に満たす必要はありません。 2乗誤差が最小になるようなくらいでいいです。

  • 二次最適化問題に定数がつく場合

    二次最適化問題の目的関数は一般に 1/2・xt・Q・x + ct・x  (1)   xt:xの転置    ct:cの転置 と表し、これを最小化するので条件式は Ax = b At・y + z = Qx + c      At:Aの転置 xt・z = 0        (2) x ≥ 0 z ≥ 0 となりますが、定数がつく場合 1/2・xt・Q・x + ct・x - b  (3) は条件式はどうなるのでしょうか? もともとの目的関数に定数が入っており、どうしてよいのかわかりません。