互除法→因数定理

質問

ユークリッドの互除法を用いて以下に示す因数定理を証明しなさい。

（１）ｆ（X)のX-aに対する剰余は、ｆ（ａ）である；
（２）（X-a)｜ｆ（X)である必要十分条件は、ｆ（ａ）＝0_kが成り立つことである；
（３）a_1,…,a_k∈Kが、ｆ（X)の異なる零点なら、
　　　　　(X-a_1)…(X-a_k)|f(X)
　　　となる。したがって、可換体上のｎ次多項式は、高々ｎ個の異なる零点しか持たない。

この証明なのですが、互助法をどのように使っていったらよいかも分かりません。
教えてください。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

enarikunさん、こんにちは。
なんだか単純なことのようで、難しい証明ですね。

f(x)=a_0x^0+a_1x+・・・+a_nx^n
とします。
xの最高次の係数は、a_n≠0で、degf(x)と書きます。
このとき、
f(x),g(x)≠0で、
f(x)=q*g(x)+r
deg(r)<deg(g)
を満たすg,rが存在します。

(1)
今、g(x)=(x-a)とおくと、deg(r)<deg(g)=1より、ｒは定数。
x=aを代入すれば、r=f(a)

(2)
(x-a)|f(x)であるとは、あるh(x)が存在し、f(x)=(x-a)h(x)
(1)よりr=0のときなので、f(a)=0∈K零元である
またf(a)=0のときf(x)=(x-a)g(x)とかけるので
(x-a)|f(x)

(3)
a_1,…,a_k∈Kが、ｆ（X)の異なる零点なら、
　　　　　(X-a_1)…(X-a_k)|f(X)

degfg=degf+degg
なので、今、もしもn+1個の零元を持つとすると、
(x-a_0)(x-a_1)・・(x-a_n+1)|f(x)
左辺＝g(x)とすると、
f(x)はg(x)で割り切れることより、
degg(x)≦degf(x)

deg(左辺)=deg(x-a_0)+・・+deg(x-a_n+1)=n+1
ところが、f(x)はn次多項式なので、degf(x)=n
degg(x)>degf(x)となり矛盾
よって、高々n個の零元しか持たない。

ちょっと全然自信ありませんが、参考URLだけでも参考にしてください。

参考URL：

http://coolee.tripod.co.jp/kakandaisuu.html#2