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x^3=2のガロア拡大体の元

このQ&Aのポイント
  • x^3=2のガロア拡大体の元についての疑問
  • K(³√2 )の元の計算方法についての疑問
  • 疑問:なぜ(1)式ではωがでてこないのか?

質問者が選んだベストアンサー

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  • jcpmutura
  • ベストアンサー率84% (311/366)
回答No.1

K=Q(ω)だから ωはKの元だから (1)式ではωがでてこない pやqは有理数ではなくωを含むKの元 整数mを3で割った商をq,余りをrとすると m=3q+r r=0,r=1,r=2のどれかになり (2^{1/3})^m=(2^{1/3})^{3q+r}=2^q(2^{1/3})^r だから 2^{1/3}の多項式は2^{1/3}の高々2次式になるから K(2^{1/3})の元は [q_2(2^{1/3})^2+q_1(2^{1/3})+q_0]/[p_2(2^{1/3})^2+p_1(2^{1/3})+p_0] となる(p_0,p_1,p_2,q_0,q_1,q_2はKの元) [(2^{1/3})^2+p_1(2^{1/3})+p_0][(p_1^2-p_0)(2^{1/3})^2+(2-p_0p_1)(2^{1/3})+p_0^2-2p_1] =p_0^3+2p_1^3-6p_0p_1+4 だからさらに K(2^{1/3})の元は a_2(2^{1/3})^2+a_1(2^{1/3})+a_0 となる(a_0,a_1,a_2はKの元)

situmonn9876
質問者

お礼

pやqは有理数ではなくωを含むKの元として、ωを具体的に書かないのが、式をわかりやすくする、アイディアなどと思いました。解説ありがとうございます。

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