x^3=2のガロア拡大体の元

質問

x^3=2の係数体は有理数体Q 、また1の3乗根をωとすると、この方程式のガロア拡大体をEとすれば、E=Q{³√2 ,³√2ω ,³√2(ω^2)} ここで基礎体として有理数体に1のn乗根を必要なだけ添加した体を考え、これをKとするK=Q(ω)。するとE=K{³√2 ,³√2ω ,³√2(ω^2)}となる。
ここからがわからないところです。
K(³√2 )の元は、³√2,ωと有理数を加減乗除したすべての数になり、³√2 について整理すれば、qやpのmやnは右下につく添え字として、
{qm(³√2)^m + qm-1(³√2)^(m-1)+qm-2(³√2)^(m-2)・・・+q0}
/{pn(³√2)^n + pn-1(³√2)^(n-1)+pn-2(³√2)^(n-2)・・・+p0}・・・(1)
となる。

自分でK(³√2 )の元を具体的に計算してみても、a,b,c,d整数として、
(³√2-ω+b/a)÷(d/c)={³√2c-ωc+bc/a}/dと(1)式と似てもにつきません。
一つ目の疑問として、(1)式ではなぜωがでてこないのか。
次はpやqは有理数なのか、そして最後に(1)式の分母や分子だけでもK(³√2 )の元なのだが、厄介な形の割り算になっているのかということです。
どなたか疑問に答えてください。お願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

K=Q(ω)だから
ωはKの元だから
(1)式ではωがでてこない
pやqは有理数ではなくωを含むKの元

整数mを3で割った商をq,余りをrとすると
m=3q+r
r=0,r=1,r=2のどれかになり
(2^{1/3})^m=(2^{1/3})^{3q+r}=2^q(2^{1/3})^r
だから
2^{1/3}の多項式は2^{1/3}の高々2次式になるから
K(2^{1/3})の元は
[q_2(2^{1/3})^2+q_1(2^{1/3})+q_0]/[p_2(2^{1/3})^2+p_1(2^{1/3})+p_0]
となる(p_0,p_1,p_2,q_0,q_1,q_2はKの元)

[(2^{1/3})^2+p_1(2^{1/3})+p_0][(p_1^2-p_0)(2^{1/3})^2+(2-p_0p_1)(2^{1/3})+p_0^2-2p_1]
=p_0^3+2p_1^3-6p_0p_1+4
だからさらに
K(2^{1/3})の元は
a_2(2^{1/3})^2+a_1(2^{1/3})+a_0
となる(a_0,a_1,a_2はKの元)

お礼

pやqは有理数ではなくωを含むKの元として、ωを具体的に書かないのが、式をわかりやすくする、アイディアなどと思いました。解説ありがとうございます。