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Q上既約多項式x^3+px+qの最小分解体(修正版)

KがQの3次拡大体⇔√D∈Q ただし Q:有理数体 D:=-(4p^3+27q^2) と教えていただきました。 虚数解が存在する時にはKがQの6次拡大体になることは明白なので 以下与式が3実解を持つ(0<D)とします。 A:=(-q/2+i√D/6/√3)^(1/3)の実数部 B:=(-q/2+i√D/6/√3)^(1/3)の虚数部 (ただし^(1/3)は複素平面上偏角が正で最小のものとする) 与式の1実解は α=2A と表され 他の実解の1つは β=-A-√3B と表される。 -q/2+i√D/6/√3=(A+iB)^3より A^3-3AB^2=-q/2 3A^2B-B^3=√D/6/√3 なので β=-α/2-√D/(2α^2-q/α)/2 従って √D∈Q⇒KはQの3次拡大体 ということは分かりました。 質問は KがQの3次拡大体⇒√D∈Q の理由を教えてください。 √D∈Q(α)⇒√D∈Q を示すことが出きればいいと思うのですが・・・ なお、前回の同じ質問は間違っていたので回答しないでください。 よろしくお願いします。

みんなの回答

  • guuman
  • ベストアンサー率30% (100/331)
回答No.1

√D=a・α^2+b・α+c として α^3+p・α+q=0 を使うと c^2-2・a・b・q=D 2・b・c-2・a・b・p-a^2・q=0 2・a・c+b^2-a^2・p=0 これにより a=b=0 または a≠0かつ(b/a)^3+p・(b/a)+q=0 (b/a)^3+p・(b/a)+q=0は与式が既約であるからありえないので a=b=0

reiman
質問者

お礼

よく分かりました。 ありがとうございました。

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