数と方程式の・・・

質問

一人で悩んでいても堂々巡りなので。

「ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数であり、ｉは虚数単位である。
（√３＋ｉ）(4)＋ａ（√３＋ｉ）(3)＋ｂ（√３＋ｉ）(2)＋ｃ（√３＋ｉ）＋ｄ＝０
を満たしているとき、ａ，ｂ，ｃ，ｄの値を求めよ。（(4)(3)(2)はそれぞれ４乗、３乗、２乗と思ってください）」

というものなのですが、どうやって解くのかが分かりません。教えてくれると嬉しいです。

回答No.5

kumagoro- · ベストアンサー

ANo.#1のMell-Lilyさんの言われる通りです。
そのまま式を立てていくと以下のようになります。

まず左辺を展開して、
(-8 + 8√3i) + 8ai + (2 + 2√3i)b + (√3 + i)c + d = 0

実数部分と虚数部分に分けて、
(-8 + 2b + √3c + d) + (8√3 + 8a + 2√3b + c)i = 0

実数+虚数=0となるには実数部分=0かつ虚数部分=0が必要十分条件なので、
-8 + 2b + √3c + d = 0 かつ 8√3 + 8a + 2√3b + c = 0

それぞれの式を有理数部分と無理数部分に分けて、
(-8 + 2b + d) + √3c = 0
(8a + c) + (8 + 2b)√3 = 0

有理数+無理数=0となるには有理数部分=0かつ無理数部分=0が必要十分条件なので、
-8 + 2b + d = 0
c = 0
8a + c = 0
8 + 2b = 0

４つの連立方程式を解いて、
a = 0
b = -4
c = 0
d = 16

となります。

追記：
ANo.#3のhinebotさん、4行目のxyの値が違います。
xy = (√3 + i)(√3 -i) = 3 + 1 = 4
です。

お礼

解答の流れまで書いていただいて、とても分かりやすいです。
学校でやったのもこのやり方でした。
実数、虚数に分けるのかな・・・くらいは思い付いたのですが、それ以上には頭が働きませんでした。
本当にありがとうございました！！

回答No.6

hinebot

>追記：
>ANo.#3のhinebotさん、4行目のxyの値が違います。
>xy = (√3 + i)(√3 -i) = 3 + 1 = 4
>です。

これは失礼致しました。m()m
i^2 = -1 で、符号をひっくり返すのを忘れてました。慌てるとダメですね。

xy=4で、(xy)^2=16　ですから
>(1)＝4{（√３＋ｉ）^2+a（√３＋ｉ）+b｝＋2c（√３－ｉ）+d（√３－ｉ）^2
の部分は、
(1)＝16{（√３＋ｉ）^2+a（√３＋ｉ）+b｝＋4c（√３－ｉ）+d（√３－ｉ）^2
となり、結果、
>＝{(8+4b+2d)+(4a+2c)√３}+{(4a-2c)+(8-2d)√3)}i
の部分は
＝{(32+16b+2d)+(16a+4c)√３}+{(16a-4c)+(32-2d)√3)}i
となって
16a+4c=0,16a-4c=0 から　a=c=0
32-2d=0 から　d=16
32+16b+2d=0 と d=16から 16b=-64 ∴b=-4
が正答ですね。（皆さんと答えが一致しました。^^;）

お礼

下のアドバイスのお礼も兼ねさせていただく失礼をお許しください。
このような展開方法もあったのですねぇ・・・。
私はただ素直に展開して無駄に労力を使いました。
先生には「オマエ、パスカルの三角形使って展開しろ～」と言われました（笑）。
ありがとうございました。また分からないときは力になってくださると嬉しいです。

回答No.4

motsuan

hinebotさんの発展形ということで

x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d=0
という方程式の解のひとつが√３＋ｉで
a,b,c,dが有理数のときの方程式をきめるという問題ですよね。

hinebotさんがおっしゃっているように
√３＋ｉと共役な数とが解となる方程式を求めます。
すると、
x^2-2(√3)x+4＝０
で無理数の入った式になります。x^4の係数が１で他が有理係数であるためには
√3を消す必要があります。そこで、
上と同様に、この式の共役x^2+2(√3)x+4をとって、
(x^2-2(√3)x+4)(x^2+2(√3)x+4)=x^4-4*x^2+16＝０
が求める式となって、めでたく
a=c=0
b=-4
d=16(?)
となります。

お礼

ほほう、共役な数・・・。
色々な考え方があるのですねぇ。
数学で柔軟な発想ができる人が羨ましいです。思いっきり文型頭なもので。
勉強になりました。また困ったときは助けてくださると嬉しいです。
ありがとうございました。

回答No.3

hinebot

先の方の回答で基本的にＯＫなんですが、４乗や３乗の展開って面倒ですよね。
そこで、ちょっと工夫します。

今　x＝√３＋ｉ,y＝√３－ｉとおきます。和と差の展開公式から
xy＝（√３＋ｉ）（√３－ｉ）＝３－１＝２
(x^2)(y^2)＝(xy)^2＝２^2＝４　ですね。（^2は２乗を表します。）

これをふまえて、与式の両辺にy^2＝(√３－ｉ)^2を掛けます。すると
左辺＝(x^4+ax^3+bx^2+cx+d)y^2
　　＝(x^4)(y^2)+a(x^3)(y^2)+b(x^2)(y^2)+cx(y^2)+dy^2
　　＝(x^2)(xy)^2+ax(xy)^2+b(xy)^2+c(xy)y+dy^2
　　＝4x^2+4ax+4b+2cy+dy^2＝4（√３＋ｉ）^2+4a（√３＋ｉ）+4b+2c（√３－ｉ）+d^2　...(1)
と２次式まで次数を下げれましたね。これなら展開も簡単ですね。なお、
右辺＝０×y^2＝０　ですね。

では続きです。
(1)＝4{（√３＋ｉ）^2+a（√３＋ｉ）+b｝＋2c（√３－ｉ）+d（√３－ｉ）^2
＝4{(２＋２√３i)+a√３＋ai+b}+2c√3-2ci+d(２－２√３i)
＝4(２＋a√３＋b)+4(２√３＋a)i+(2c√3+2d)-(2c+2√３d)i
＝(8+4a√３＋4b+2c√3+2d)+(8√３＋4a-2c-2√3d)i
＝{(8+4b+2d)+(4a+2c)√３}+{(4a-2c)+(8-2d)√3)}i
となります。
これから
8+4b+2d=0 すなわち 2b+d+4=0 (2)
4a+2c=0　すなわち 2a+c=0 (3)
4a-2c=0　すなわち 2a-c=0 (4)
8-2d=0 (5)
の４つがでます。
(3),(4)から　a=c=0 が判ります。
(5)から 2d=8 ∴ d=4
これと(2)から　2b+8=0 2b=-8 ∴ b=-4
で全て決まりました。
（どこかで計算ミスしてるかも知れません。ご自身でも確かめてくださいね。）

回答No.2

echoes

No.1の方の解法に加えて、ど・もあぶるの定理使うと楽ですネ。素直に展開して、複素数の相当、無理数の相当という奴を使えば解けるんじゃないですか？

　ｘ＋ｙｉ＝０　⇔　ｘ＝ｙ＝０

お礼

実はこの日当てられていたので、学校に行く前に見る事が出来て助かりました。
ド・モアブルの定理は・・・イマイチ良く覚えてないのですが（爆）、また、復習しておきます。
お礼が遅くなって申し訳ないですが、ありがとうございました。

回答No.1

Mell-Lily

まず、左辺を展開します。次に、展開した式を整理して、虚数部分と実数部分に分けます。ここで、右辺は0ですから、実数部分も虚数部分も0でなくてはなりません。そこで、方程式が二つ得られます。さらに、それぞれの方程式を整理して、有理数部分と無理数部分に分けます。すると、二つずつの方程式が得られ、合計四つの方程式が得られます。未知数も四つなので、全て値が決まることになります。

お礼

あのような時間に書いていて、すぐにお返事もらえて嬉しかったです。
すぐにお返事出来なくてゴメンナサイです。
実は次の日当てられていたのですが、１日中考えても分からなくて慌てていました。
助かりました。ありがとうございました！！