連立方程式について

質問

連立方程式について

A,B,C,D,Fを未知数とします。
1+B/A=C/A+D/A………(1)
k(1-B/A)=α(C/A-D/A)……(2)
(C/A)exp[iαd]+(D/A)exp[-iαd]=(F/A)exp[ikd]……(3)
α((C/A)exp[iαd]-(D/A)exp[-iαd])=k(F/A)exp[ikd]………(4)

このとき、
B/A, C/A, D/A, F/Aの値はそれぞれなんでしょうか？

α=√(2m(E-V))/h
k=√(2mE)/h
とします。

また、R=v|B|^2/(v|A|^2)=｛1+4E(E-V)/(V^2(sinαd)^2)｝^-1
になることを詳細に証明してください。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

＞ これらは、どうやってだしたんですか？
＞ とき方の順序がわかりません。

No.1 の手順では…

(1')(2')より、
γ = (1+w)/2 + β(1-w)/2
δ = (1-w)/2 + β(1+w)/2 　　…(5)

(3')(4')より、
xγ　　 = yφ(1+w)/2
(1/x)δ = yφ(1-w)/2 　　…(6)

(5)(6)が一致するように、
(1+w)/2 + β(1-w)/2 = (y/x)φ(1+w)/2
(1-w)/2 + β(1+w)/2 = xyφ(1-w)/2

式を整理して、
1 = (1/x)yφ - (1/u)β
1 = xyφ - uβ　　　　　…(7)
ただし、
u = (1+w)/(1-w)

(7)を解いて、
β = u(1-x^2)/(x^2-u^2)
φ = (1/y)x(1-u^2)/(x^2-u^2)

これを(5)へ代入して、
γ = { (1+w)/2 }(1-u^2)/(x^2-u^2)
δ = { (1-w)/2 }(x^2)(1-u^2)/(x^2-u^2)

これに w,x,y,u を代入して、整理。

＞ また、R = v|B|^2/(v|A|^2) = { 1+4E(E-V)/(V^2(sin αd)^2) }^-1
＞ になることを詳細に証明してください。

依然として、V,E が未定義。

そうなるような R,V,E が在ることを示せばよいのなら、
前半とは何の関係もなく、後半の式を解いて、

R = |B/A|^2
E/V = (1/2){ 1 ± √( (cos αd)^2 + (1/R)(sinαd)^2 ) }
とすればよい。それは常に可能。

お礼

なろほど。ありがとうございました。

回答No.2

Anti-Giants

vは約分されるので、定義は不要です。

1+x=y+z.
k(1-x)=α(y-z).
ys+yt=wu.
α(ys-yt)=kwu.

ちなみにst=1.
省略のためG=s(k-α)^2-t(k+α)^2.
z=2ks(k-α)/G.
y=-2kt(k+α)/G.
x=(k^2-α^2)(s-t)/G.
w=-4k^2stα/uG.

k^2-α^2=(2mv/h^2).
s-t=2sin(αd).
|G|^2=16m^2[V^2sin^2(αd)+4E(E-V)]/h^4
R
=v|B|^2/(v|A|^2)
=|x|^2
=(2mV/h^2)^2(2sin(αd))^2/[V^2sin^2(αd)+16m^2{4E(E-V)}/h^4]
=V^2sin^2(αd)/[V^2sin^2(αd)+4E(E-V)]
=1/[1+4E(E-V)/V^2sin^2(αd)].

補足

z=2ks(k-α)/G.
y=-2kt(k+α)/G.
x=(k^2-α^2)(s-t)/G.
w=-4k^2stα/uG.
これらは、どうやってだしたんですか？
とき方の順序がわかりません。
お願いします。

回答No.1

alice_44

＞ B/A, C/A, D/A, F/Aの値はそれぞれなんでしょうか？

β = B/A,
γ = C/A,
δ = D/A,
φ = F/A,
w = k/α,
x = exp[iαd],
y = exp[ikd].
と置いて、外見を簡素化すると、

1 + β = γ + δ, 　　…(1')
w(1 - β) = γ - δ,　　…(2')
xγ + (1/x)δ = yφ,　　…(3')
xγ - (1/x)δ = wyφ.　　…(4')

これを、β, γ, δ, φ の連立方程式として解く問題。
四元四連立一次方程式に過ぎないから、
普通に解けば、どうやっても解けるが…

手順の一例として、
(1')(2') と (3')(4') を、γ, δ に関する
二組の二元二連立一次方程式として、それぞれ解き、
両者の解が一致するように、β, φ を定めてもよい。
一致の条件として、β, φ の二元二連立一次方程式
が現われるので、それを解けばよい。

＞ また、R = v|B|^2/(v|A|^2) = {1+4E(E-V)/(V^2(sinαd)^2)}^-1
＞ になることを詳細に証明してください。

R はともかく、v, V, E が未定義。