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有理数体上既約多項式x^3+ax+bの最小分解体

が有理数体の3次のガロア拡大体になる例を教えてください。 6次ではなく3次の拡大体になる場合の有理数a,bの値例を教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

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  • t-h1970
  • ベストアンサー率39% (27/69)
回答No.3

こんにちわ。 カルダノの方法(公式)を使ってみましょう。 機械的に処理できます。 背景知識としては与式の最小分解体Kとして f(x)が体F上での既約だとするとF⊂F(√D)⊂Kであり 拡大次数[K:F(√D)]=3 また √D∈F⇔[K:F]=3 これを使います。 このDは判別式です。3つの解をs,t,uとすると D=(s-t)^2(s-u)^2(t-u)^2=-4a^3-27b^2 これですね。 凄く凄く単純化すると、判別式Dが平方数ならば拡大次数は3になるわけです。色々といじって遊んでみてください。 例えばx^3-3x+1は拡大次数3ですが、x^3+3x+1ならばD<0より次数は6ですね。

reiman
質問者

お礼

詳しい説明ありがとうございます。 いじってみたいとおもいます。

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その他の回答 (2)

  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.2

あー・・・見事ですねえ>No.1さん これは,1の3乗根をωとして ω^{1/3}+ω^{-1/3} というのがポイントですよ. ガロア群が三次巡回群になるのもすぐ確認できます. #たぶん, #(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)をベースに #abとa^3+b^3が有理数であって,三次式が既約になればよい #というあたりからの発想でしょうか

reiman
質問者

お礼

ありがとうございます。 参考にさせてもらいます。

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  • t-h1970
  • ベストアンサー率39% (27/69)
回答No.1

こんばんわ。 x^3-3x+1 これであってるかな、多分あってます 確認するのは自習ということにしときましょう。

reiman
質問者

お礼

その複雑な式というのは β^2+αβ+α^2=3かつβ=pα^2+qα+rかつα^3-3α+1=0から q^2+2pr+3p^2+q+1=0 2qr+6pq-p^2+r+3p=0 r^2-2pq-p=3 を満たす有理数p,q,rの存在がいえればいいのですがとても解けそうにありません。 β=pα^2+qα+r とする手法は破綻するようです。 どのような手法を使えばいいでしょうか?

reiman
質問者

補足

ありがとうございます。 確認するにはどういう手段を用いたらいいでしょうか? 無理数根をα,β,γとしたときにp,q,rを有理数として β=p+qα+rα^2 となればよいのですがかなり複雑な式になり確認できません。 確認するための道筋を教えてください。

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