有理数体上既約多項式x^3+ax+bの最小分解体

質問

が有理数体の3次のガロア拡大体になる例を教えてください。
6次ではなく3次の拡大体になる場合の有理数a,bの値例を教えてください。

回答No.3

t-h1970 · ベストアンサー

こんにちわ。

カルダノの方法（公式）を使ってみましょう。
機械的に処理できます。

背景知識としては与式の最小分解体Kとして
f(x)が体F上での既約だとするとF⊂F（√D)⊂Kであり
拡大次数[K:F(√D)]=3　また　√D∈F⇔[K:F]=3
これを使います。
このDは判別式です。3つの解をs,t,uとすると
D=(s-t)^2(s-u)^2(t-u)^2=-4a^3-27b^2　これですね。

凄く凄く単純化すると、判別式Dが平方数ならば拡大次数は3になるわけです。色々といじって遊んでみてください。

例えばx^3-3x+1は拡大次数3ですが、x^3+3x+1ならばD<0より次数は6ですね。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。
いじってみたいとおもいます。

回答No.2

kabaokaba

あー・・・見事ですねえ＞No.1さん

これは，1の3乗根をωとして
ω^{1/3}+ω^{-1/3}
というのがポイントですよ．
ガロア群が三次巡回群になるのもすぐ確認できます．

＃たぶん，
＃(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)をベースに
＃abとa^3+b^3が有理数であって，三次式が既約になればよい
＃というあたりからの発想でしょうか

お礼

ありがとうございます。
参考にさせてもらいます。

回答No.1

t-h1970

こんばんわ。

x^3-3x+1

これであってるかな、多分あってます

確認するのは自習ということにしときましょう。

お礼

その複雑な式というのは

β^2+αβ+α^2=3かつβ=pα^2+qα+rかつα^3-3α+1=0から

q^2+2pr+3p^2+q+1=0
2qr+6pq-p^2+r+3p=0
r^2-2pq-p=3
を満たす有理数p,q,rの存在がいえればいいのですがとても解けそうにありません。

β=pα^2+qα+r
とする手法は破綻するようです。

どのような手法を使えばいいでしょうか？

補足

ありがとうございます。
確認するにはどういう手段を用いたらいいでしょうか？
無理数根をα,β,γとしたときにp,q,rを有理数として
β=p+qα+rα^2
となればよいのですがかなり複雑な式になり確認できません。
確認するための道筋を教えてください。