∫[0→1]｜x^2+ax+b|dxの最小値についてヒントください

質問

a,bを任意の実数とするとき、積分∫[0→1]｜x^2+ax+b|dxの値の最小値を次の方法で求めるのですが（４）がわからないのでヒントを教えて下さい
（１）Aを実数として|A|+A≧０、（等号はA≦０のとき）
　　　　　　　　 　|A|-A≧０、（等号はA≧０のとき）を証明せよ
(2)関数f(x)について
　　I=∫[0→1]f(x)dx,
J=∫[0→c]f(x)dx+∫[c→d]f(x)dx+∫[d→1]f(x)dx
ただし、０＜c＜d＜1とおく
　　I≧Jを証明せよ。また等号が成立する条件を求めよ
　（３）f(x)=x^2+ax+bとおくときJの値をa,b,c,dで表し、a,bについて整理しJの値がa,bに関係なく一定となるc,dの値を求めよ
(4)積分∫[0→1]｜x^2+ax+b|dxの最小値と、その時のa,bの値を求めよ。

という問題です(1)はAを正負に分けて証明すればできました。
(2)はI-Jとおいて、積分区間を0→c,c→d,d→1の三つに分けて（１）を利用して証明できました。等号が成立する条件も(1)からわかりました。
（３）は計算してa(c^2-d^2+1/2)+2b(c-d+1/2)+2/3(c^3-d^3+1/2)
a,bの係数が０と置いてc=1/4,d=3/4がでました。
（４）が全く分かりません（c,dがx^2+ax+b=0の解ぐらいです

（４）のヒントを何か下さい・・・・・よろしくお願いします。

回答No.4

owata-www · ベストアンサー

どうやら

(2)
I=∫[0→1]|f(x)|dx
J=∫[0→c]f(x)dx-∫[c→d]f(x)dx+∫[d→1]f(x)dx

ということっぽいですね

まあ、普通は＃１、３さんが仰るように場合分けでやっていくんですが　せっかく誘導があるんですから、それにのって上げると

任意のa,bに対し c=1/4、d=3/4とおくと
Ｉ≧Ｊ＝2/3(c^3-d^3+1/2)
が成立するわけなんで、Ｉが最小値を取るのは等号が成立する時となります

このように考えろということなのでしょう

お礼

なるほど。これですっきりしました。ありがとうございました。

回答No.5

Mr_Holland

＃３です。
　＃４さんの言われる通りです。
　誘導で示された不等式の真のすごさを理解していませんでした。
（＃３の場合分けでは、いくつもの最適値問題を解かねばならず、また、ⅳ）「α＜０＜β＜１」または「０＜α＜１＜β」のケースは私には計算不能でした。）

　この不等式を使えば、任意のａ，ｂに対しても（２次方程式の解がどのようであっても）簡単に、最小値が、１／１６と求められます。
（なにも「０＜α＜β＜１」のケースに限定する必要はありませんでした。）

　この不等式の等号成立の条件は、ｃ、ｄが２次方程式の解と一致することですから、解と係数の関係から、

　　ａ＝－（ｃ＋ｄ）＝－１
　　ｂ＝ｃｄ＝３／１６

となります。
（実際に、この係数で計算すると、積分Ｉの値が１／１６になることが確認できます。）

　ただ、等号を成立させるａ，ｂが上記だけであるのかについては不明です。

お礼

ありがとうございました。いろいろアドバイスを頂きありがとうございました。

回答No.3

Mr_Holland

まず、（２）のＪは、
　　Ｊ=∫[0→c]f(x)dx　－　∫[c→d]f(x)dx　＋　∫[d→1]f(x)dx
の誤り（第２項の符号が反対）ではありませんか？

　でないと、質問者さんが計算された式
＞a(c^2-d^2+1/2)+2b(c-d+1/2)+2/3(c^3-d^3+1/2)
がでないように思います。

　その上で（４）についてですが、ここは＃１さんが言われたように、２解の条件によって場合分けし、その中での最小値を探していくことになるように思います。
　その際、２実解をα、β（α≦β）とおいて、０＜α＜β＜１のケースで、Ｉの最小値を求めるのに、（２）で証明した不等式を使うのだと思います。

　ちなみに、途中までの計算で恐縮ですが、解の場合分けによるＩの最小値は次のようになるようです。

ⅰ）「実解なし」または「重根」または「α＜β≦０」または「１≦α＜β」　のとき
　　Ｉの最小値＝　１／１２

ⅱ）「０＜α＜β＜１」　のとき
　　Ｉの最小値＝　１／１６

ⅲ）「α≦０かつ１≦β」　のとき
　　Ｉの最小値＝　１／６

ⅳ　「α＜０＜β＜１」または「０＜α＜１＜β」　のとき
　　（まだ計算ができていません。）

お礼

ありがとうございました。ご指摘の通りです。問題をミスして投稿して反省してます。大変参考になりました。なるほど（２）をこんなふうに使うんだなぁと。最小値計算して頂きありがとうございました。

回答No.2

owata-www

恐らくなんですが

(2)って、I=∫[0→1]|f(x)|dxじゃないですかね？I=∫[0→1]f(x)dxだとI = Jで終わってしまうんで…

お礼

ありがとうございました。こっちがミスして投稿したり混乱してました。ご指摘の通りでした。

補足

ご指摘の通りです
　I=∫[0→1]｜f(x)｜dxでした。申し訳ありません

回答No.1

arrysthmia

小問が、何だか奇妙な誘導になっていますね。
(2) は、I = J にしか見えないし…
出題者の意図する解法が、伝わってきません。

普通のやり方をすれば、
∫[0→1] ｜x^2+ax+b| dx を a, b の式で表すために、
x^2+ax+b = 0 が 0 < x < 1 の範囲に何個の解を持つか
で場合分けすることから始めるのではないでしょうか。

お礼

すぐにヒントをいただきありがとうございました。問題をタイプミスしたり混乱しましたが、アドバイスを頂きありがとうございました。ヒントを貰うとホットしました。

補足

（２）は　I=∫[0→1]｜f(x)｜dxでした。絶対値が抜けていました。