• ベストアンサー

∫(0→x)(1+ax)/(1-x)dx

∫(0→x)(1+ax)/(1-x)dx が(1+a)∫(0→x)dx/(1-x)-∫(0→x)adx となるまでの導出をご教授ください。 ∫(0→x)は0からxまで積分するという意味です。よろしくお願い致します。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#250262
noname#250262
回答No.1

 (1 + ax) / (1 - x) = (1 + ax + a - a) / (1 - x) = { (1 + a) - (a - ax) } / (1 - x) = { (1 + a) / (1 - x) } - { (a - ax) / (1 - x) } = { (1 + a) / (1 - x) } - a

hiwhr34
質問者

お礼

ありがとうございます。助かりました。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • ∫(ax^n + b)^α dxに対する不定積分の公式を探しています

    ∫(ax^n + b)^α dxに対する不定積分の公式を探しています 本には ∫(ax + b)^α dx = {(ax + b)^(α+1)} / {a(α+1)} + C   (a≠0) という、xが1次の場合の不定積分の公式は載っています。具体的には ∫(2x + 1)^2 dx = {(2x + 1)^3} / {2(3)} + C みたいなのですね。 ただ、 ∫(ax^n + b)^α dx のように、xの次数が高い場合は載っていません。 ネットで検索しても見つかりません。 ∫(2x^2 + 1)^2 dxなら展開してから不定積分を行えば良いのですが、 ∫{x(a^2 - x^2)^(1/2)} dx のような、もっとややこしい場合は展開もできません。 そのような場合はどうやって計算するのですか? 勘で ∫(ax^n + b)^α dx = {(ax^n + b)^(α+1)} / {ax^(n-1)(α+1)} + C と思ったのですが、違いますか? では、お願いします。

  • ∫[0→1]|x^2+ax+b|dxの最小値についてヒントください

    a,bを任意の実数とするとき、積分∫[0→1]|x^2+ax+b|dxの値の最小値を次の方法で求めるのですが(4)がわからないのでヒントを教えて下さい (1)Aを実数として|A|+A≧0、(等号はA≦0のとき)           |A|-A≧0、(等号はA≧0のとき)を証明せよ (2)関数f(x)について   I=∫[0→1]f(x)dx, J=∫[0→c]f(x)dx+∫[c→d]f(x)dx+∫[d→1]f(x)dx ただし、0<c<d<1とおく   I≧Jを証明せよ。また等号が成立する条件を求めよ  (3)f(x)=x^2+ax+bとおくときJの値をa,b,c,dで表し、a,bについて整理しJの値がa,bに関係なく一定となるc,dの値を求めよ (4)積分∫[0→1]|x^2+ax+b|dxの最小値と、その時のa,bの値を求めよ。 という問題です(1)はAを正負に分けて証明すればできました。 (2)はI-Jとおいて、積分区間を0→c,c→d,d→1の三つに分けて(1)を利用して証明できました。等号が成立する条件も(1)からわかりました。 (3)は計算してa(c^2-d^2+1/2)+2b(c-d+1/2)+2/3(c^3-d^3+1/2) a,bの係数が0と置いてc=1/4,d=3/4がでました。 (4)が全く分かりません(c,dがx^2+ax+b=0の解ぐらいです (4)のヒントを何か下さい・・・・・よろしくお願いします。

  • ∫1/√(x^2+a)dxの求め方

    ∫1/√(x^2+a)dxの求め方 積分公式の一つに ∫1/√(x^2+a)dx=log{x+√(x^2+a)}+C(Cは積分定数) がありますよね。 これってどのように証明すればよいのですか? x=asinθで置換積分してもうまく解けないのですが…。

  • ∫1/{ 2+cos(x) }dxについて

    ∫1/{ 2+cos(x) }dxについて cos(x) = aとおいて、置換積分を試みたのですが、どうも上手くいきません。もし宜しければ、アドバイスの程お願い致します。

  • ∫ sin(x)/x dx (0<x<∞)

    ∫ sin(x)/x dx (0<x<∞)=π/2 というのはどのように計算するのでしょうか? 複素積分にして原点を避けた経路で積分すればうまく計算できるかなーとか考えたのですがうまくいかなくて困ってます。 ご教授ください。

  • e^(ax)の微分と積分

    e^(ax)の微分と積分 e^x'=e^x ∫e^x dx=e^x ですが、 e^(ax)'=a*e^(ax) ∫e^(ax)dx=(1/a)*e^(ax) で合ってますか?

  • ∫(1/x^a)dxの積分がわかりません。。

    ∫(1/x^a)dx (a>1) の積分がわかりません。。 あと∫{1/(b-x)^a}dx (0<a<1) の積分もいろいろ考えたのですがわからないです。 どなたかわかるようでしたら解説お願いします。

  • ∫(x^3+x^2-4x)/(x^2-4)dxの積分が解けません。

    ∫(x^3+x^2-4x)/(x^2-4)dxの積分が解けません。 一見簡単に見えたのですが、私には難しかったようです。 ∫(x^3+x^2-4x)/{(x+2)(x-2)}dxから x^3+x^2-4xの因数分解を考えたのですが、 x(x^2+x-4)として、x^2+x-4を考えると、単純に因数分解できそうにありません。 強引に(Ax^2+Bx)/(x+2)+(Cx^2+Dx)/(x+2) と部分分数分解もしましたが、行き詰りました。 お知恵を拝借願います。

  • 積分∫[-∞,∞]cosbx*exp(-ax^2)dx

     タイトルの実定積分を複素積分を利用(留数定理等)して行いたいのですが、上手くいきません。  a=const>0,b=const,ガウス積分利用可です。  フーリエんとこ勉強していたのですが、 形的には∫[∞,∞]exp(-ikx)*f(x)dxが一般的な形ではないかと・・ f(x)=exp(-ax^2)の場合です。 よろしくお願いします。

  • 積分の公式の導出について

    積分の公式の導出について ∫{(ax+b)^n}dxの積分公式は、(((ax+b)^n+1)/a(n+1)) なのですが、どのようにすれば導出できるのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。