2次拡大

質問

（√２）ノ1/3乗ハＱから初めて2次拡大を有限回繰り返してできる体に含まれないことを示せ。ヒントをください。

回答No.4

31415926 · ベストアンサー

つまり，私は
>Q(2^{1/3})はQ上3次拡大なので(←これは知ってるとします)
と書いてしまいましたが，これの理由を聞いておられるわけでしょうか？
これは次のように考えればよいです．

2^{1/3}のQ上の最小多項式
(Q上のモニック既約多項式で2^{1/3}を根とするもの)
が3次式であることを示せばよい．
x^3-2はQ上のモニック多項式で2^{1/3}を根とするので
これがQ上既約であることを示せばよい．
もしx^3-2が可約ならば，これはQ係数の1次式の因数を
もたなければならず，従って有理数の根を持たなければならないが，これはありえない．
(あったとしたら矛盾が出ることがわかる)

これでどうでしょう？

お礼

とてもよくわかりました。懇切ていねいなこと大感謝です。

回答No.3

ojisan7

有理数体Ｑから初めて、２次の拡大体を作るためには有理係数の２次方形式の根をＱに添加添加しＱ（√）の形になります。Ｑ（√）にさらに、２次の拡大を実施するためには、Ｑ（√）係数の２次方程式の根をＱ（√）に添加することになり、得られた拡大体はＱ（√，√√）の形になります。以下同様な手続きを行うと、結局２＾（ｎ）次の拡大体が得られ、決して３次の拡大体は得られません。

回答No.2

31415926

Q((√2)^{1/3}) はQ(2^{1/3})を含み
Q(2^{1/3})はQ上3次拡大なので(←これは知ってるとします)
Q((√2)^{1/3})のQ上の拡大次数は2のべきではない．
よって
√2の1/3乗はＱから初めて2次拡大を有限回繰り返し
てできる体に含まれない．

これでどうでしょうか？

補足

問題を間違えていました
２の３乗根は、Ｑから初めて2次拡大を有限回繰り返してできる体に含まれない．

でした

回答No.1

yumisamisiidesu

つまり、整数係数の複複・・・複二次式=0の方程式で2の3乗根が解となるものはないことを示せばいいと思います．帰納法と背理法で何とかならないでしょうか？