代数学の質問です。

質問

体Lを体Kの有限次ガロア拡大体とします。
KとLの中間体Mとすると、
M=L^(Gal(L/M))となる事を示して欲しいです。

ただし、Gal(L/M)は、LからLへの環同型かつそのM上の制限は恒等写像となるもの全体で、
L^(Gal(L/M))={α∈L | 任意のσ∈Gal(L/M)に対して、σ(α)=α}
です。

自分なりに、
M⊂L^(Gal(L/M))
は、示せたのですが、逆の包含関係が示せません。

α∈L^(Gal(L/M)) \ Mが存在しない事を示そうと思ったのですが、わからなくなりました。

回答No.1

abiwirang · ベストアンサー

問題の主張は、体 $L$ が体 $K$ の有限次 Galois 拡大であるとき、$K$ と $L$ の中間体 $M$ に対して $M = L^{\operatorname{Gal}(L/M)}$ が成り立つことを示すことです。

まず、$M \subseteq L^{\operatorname{Gal}(L/M)}$ は明らかです。実際、$\alpha \in M$ ならば、$\sigma(\alpha) = \alpha$ がすべての $\sigma \in \operatorname{Gal}(L/M)$ で成り立つので、$\alpha \in L^{\operatorname{Gal}(L/M)}$ です。

次に、$L^{\operatorname{Gal}(L/M)} \subseteq M$ を示します。$\alpha \in L^{\operatorname{Gal}(L/M)}$ とします。このとき、$\sigma(\alpha) = \alpha$ がすべての $\sigma \in \operatorname{Gal}(L/M)$ で成り立つので、$\alpha$ は $M$ 上で定数関数となります。つまり、$\alpha$ は $M$ に属する定数となります。したがって、$\alpha \in M$ となります。

以上より、$M = L^{\operatorname{Gal}(L/M)}$ が示されました。

お礼

回答ありがとうございます。