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代数学

体Lを体K(Kの標数は0)の有限次ガロア拡大体とします。 Gal(L/K)は、LからLへの環同型かつそのK上の制限は恒等写像となるもの全体で、 L^(Gal(L/K))={α∈L | 任意のσ∈Gal(L/K)に対して、σ(α)=α} です。 α∈L^(Gal(L/K))とし、L^(Gal(L/K))の中にはαとK上共役な元が存在しないとします。 このとき、α∈Kとなる事を示して欲しいです。

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仮定より、αのK上の共役元はすべてL^(Gal(L/K))に含まれません。したがって、αのK上の最小多項式f(x)は、K[x]内で一次式(x - α)のみを持ちます。 また、体Lを体Kの有限次ガロア拡大体と仮定しているので、Gal(L/K)は有限群です。したがって、L^(Gal(L/K))の任意の元は、その自己共役元を含みます。 つまり、αは自己共役であるため、Gal(L/K)の元σに対して、σ(α) = αが成立します。そして、自己共役の定義より、αはK上にあるため、α∈Kとなります。

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