極大素イデアルと極大イデアル

質問

まず、質問文が長くなったことと、定義などをいろいろ細かく指定したことをお詫びします。
また、極大素イデアルというのは maximal prime ideal を勝手に日本語にしたもので、正しい数学用語かどうかわかりません。

この質問では乗法の単位元１をもつ可換環のみを考え、素イデアルは（１）に等しくないとします。
記号の使い方で、Ａ⊆ＢはＡがＢの部分集合、Ａ⊂ＢはＡがＢの真部分集合を表すとします。
このとき、素イデアルＰに対して、Ｐ⊂Ｐ’⊂（１）を満たす素イデアルＰ’が存在しないとき、Ｐを極大素イデアルと定義します。

ある数学書には、

Ｒをネター環、ＰをＲの極大イデアル、Ａ≠（１）をＲのイデアルとするとき、
Ｐ^n ⊆Ａ⊆Ｐとなる自然数 n が存在する⇔Ａは準素イデアルで√Ａ＝Ｐが成り立つ

という命題が載っていて、別の数学書には、

Ｒをネター環、ＰをＲの極大素イデアル、Ａ≠（１）をＲのイデアルとするとき、
Ｐ^n ⊆Ａとなる自然数 n が存在する⇔Ａは準素イデアルで√Ａ＝Ｐが成り立つ

という命題が載っています。ふたつを見比べると、これらの命題に限れば極大素イデアルと極大イデアルは互換性をもつといえます。

質問したいのは上の命題の証明ではなく、極大素イデアルと極大イデアルは同じものかどうかということです。
極大イデアルが極大素イデアルであることは明らかですが、逆は成り立つでしょうか。
成り立たないとすれば、Ｐ⊂Ｂ⊂（１）を満たす極大素イデアルＰと素イデアルでないイデアルＢが存在する例があるはずですが、そういう例が見つかりません。
極大素イデアルが極大イデアルであることを証明しようとも試みましたが、証明できませんでした。
有理整数環Ｚでは極大素イデアルは必ず極大イデアルになり、ｋ[x, y] の極大素イデアル (x, y) も極大イデアルですが、例を挙げただけでは証明になりませんので。

どうか、アドバイスをよろしくお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

仮に
＊PはRと等しくない素イデアル
＊Pより真に大きい素イデアルはない
＊Pより真に大きく、Rと等しくないイデアルBがある
とすれば、
＊Bを含み、Rと等しくないイデアル全体からなる集合は
　帰納的集合であるからZornの補題により極大元Iがあって、
　Iは極大イデアル、よって素イデアルです。よって：
P⊂B⊆I⊂R, Iは素イデアルなるIが存在し、矛盾します。

お礼

簡潔明快な解答、ありがとうございました。
とてもわかりやすく、以前学んだことの復習にも役立ちました。
Ｒ≠0 が少なくとも１つ極大イデアルをもつことは習っていたのですが、今回に応用できなかったのが残念です。
今後も初歩的なことを質問すると思いますが、機会があったらまた教えてください。
お礼が遅くなったことをお詫びします。