距離空間における同値について

質問

距離空間の問題でわからないものがあります↓

d1(x,y)=Σ(i=1～n)|x(i)-y(i)|とする。
(X,d)を距離空間とする時、
d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))
と定義すると(X,d')も距離空間である。
d1とd'は同値ではないことを示せ。

という問題です。
すこし表示がわかりにくいんですけど、x(i)っていうのはｘのｉ番目のものって意味のつもりです。
ちなみに同値っていうのは
距離関数δ,ζに対してk≧1が存在し、
(1/k)δ≦ζ≦kδとなる
と定義されています。

自分ではd'とd1が同値であることを仮定して矛盾を導くのかな？と考えたんですが、矛盾が導けません。
教えてください！

回答No.4

adinat · ベストアンサー

#1です。

#2さんもおっしゃるように
kはx,yとは無関係に選べなければなりません。
これが同値の定義です。約束です。
どういうことかというと、もし同値なら
大きいほんとに大きいkを持ってくれば
どんなx,yに対しても(1/k)δ≦ζ≦kδとなるということです。
たとえばk=10000000000とか思えばよいのです。

だけどd1とd'にこんな関係はないんですよ。
だってd'は1より小さいんだから、
x=(0,…,0)、y=(10000000001,…,10000000001)
とすればd1(x,y)≦1だけどもd'(x,y)=n10000000001だから。

じゃkyoko1110さんはk=10000000000が小さすぎたとおっしゃるかも知れない。
k=1000000000000000000だったらいいのか？
でもこれだってやっぱり成り立たないですよね。

ようするにどんなkをあなたが選んでこようが、
すべてのx,yに対して(1/k)δ≦ζ≦kδが成り立つ
なんていうことはd1とd'に関してはありえないのです。

ようするに同値ではない、ということです。

回答No.5

naozou

#3 です。

> dとd1っていうのは別物なんです。
> っていうのはただの距離としか言われてなくて、どういう距離であるかというのは定義されていません。

問題を確認させてください。

> d1(x,y)=Σ(i=1～n)|x(i)-y(i)|とする。
(X,d)を距離空間とする時、
d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))
と定義すると(X,d')も距離空間である。
d1とd'は同値ではないことを示せ。

でいいのですよね？
であれば、私の回答のdをd1としてもらうだけでOKだと思います。(d=d1だと思っていたので)

(X, d) の意味は、ベクトル空間Xと距離関数dを組み合わせて距離空間を考えるときには(X, d)と書くことにしますよ、という意味ではないですか？

ちなみに距離同値をイメージで言うと、モノサシ(=距離)の伸び縮みはOKだけど、モノサシそのものが変わるのは同値ではない、ということです。
(または、モノサシの変化がある一定の範囲(=k倍)に収まる、でもいいです)

たとえば2点間の距離をkmで表すのとマイルで表すのは同値、でも2点の移動コスト(時間とか費用とか)をモノサシにすると同値でない、そんな感じです。
(移動時間・費用は距離に比例することが多いですけど、徒歩で行くところ、飛行機で行くところを比べると違いますよね)
↑数学的な例じゃないですけど、イメージってことで

回答No.3

naozou

Xはベクトル空間として、ベクトル表示します。

まず同値を仮定します。
∃k s.t. (1/k)d ≦ d' ≦ kd, 1 ≦ k

点x0 = (x, x, ..., x) (x≠0)でないとし、O = (0,0,0...0) とします。定義からd(x0, O) = n|x| となります。

同値の仮定から、すべての x について
(1/k)n|x| ≦ n|x|/(1+n|x|) ≦ kn|x|
が成立

一方、両辺にk, 1/n|x| をかけて
1 ≦ k/(1+n|x|) ≦ k^2
上の式はすべてのxについては成立しない

よって矛盾、すなわち同値ではない。

気分的にはdは距離が離れるとどんどん大きくなる距離関数ですが、d'は距離が離れてもあまり変わらない距離関数です。距離が縮む場合も振る舞いがことなりますね。
問題では2点間の距離を定義していますが、考えるには原点からの距離で考えてしまえば楽ですね。

補足

回答ありがとうございます。
私の書き方がわかりにくくてすいません。
dとd1っていうのは別物なんです。
dっていうのはただの距離としか言われてなくて、どういう距離であるかというのは定義されていません。
ややこしくてすいません。

回答No.2

nakaizu

距離の同値を示すときのkは空間内の点xに依存してはいけないのです。
つまり、空間内のすべての点x,yに対して
(1/k)δ(x,y)≦ζ(x,y)≦kδ(x,y)
が成り立つようなkが存在するときが同値なわけです。
なお、k≧1はあまり重要ではありません。1/k≦kが成り立つために必要なだけです。
一般には
aδ≦ζ≦bδ
をみたす正数a,bが存在するときに同値とすると定義してもかまいません。

補足

回答ありがとうございます。
すいません…まだ理解できてないんで、質問していいですか？
ｋはｘに依存してはいけないっていうのはどういう意味ですか？
どんなｘ、ｙに対しても成り立つようなｋがたった一つ存在するってことでしょうか。
No.１の補足にも書いたんですが、d'とd1の場合でも同値の定義を満たすとても大きい数ｋが一つ存在すると思うんです。
…違いますか？違うんですよね…よかったらもう一度説明お願いします。

回答No.1

adinat

横ベクトルで書きます。

x_k=(k,…,k)としましょう。全成分がkのベクトルです。
x_k(1)=…=x_n(k)=kでもあります。
d1(x_k,x_j)=n|k-j|となるのは明らかです。
したがって|k-j|を大きくすればd1はいくらでも大きくなります。
一方でd'(x_k,y_k)≦1は常に成り立ちますから
この二つの距離が同値になることはありえません。
（同値とすれば明らかに矛盾します。）

気分的な言い方を許してもらえば、
有界距離(つまりどことどこを測ってもある数より小さくなる距離空間)
と同値な距離というのは、有界距離しかないということです。

補足

回答ありがとうございます。
もう少し聞いてもいいでしょうか？

「d'≦1、d1はいくらでも大きくなる」というのはわかります。
でも、どうしてそうなると同値の定義が成り立たないのかがわからないんです…。
kをとても大きくすれば成り立つと思うんですけど…。
そのときk≧1は成り立っていますよね。

この考え方は間違ってますか？