解き方と答えを教えて下さい。

質問

解答が付いていない問題を自己流で解いていたのですが、私が出した答え＆解き方が正しいかどうかを確認したいと思いまして・・・。どなたか教えて頂けないでしょうか。

問(1)　X（エックス）に関する方程式　kx²　+　２kx +　３　=　０　が実数解をもつような　k　の値の範囲　　　　を求めなさい。

問(2)　実数　ｘ、ｙ　が　ｘ²+ｙ²=１　を満たすとき、３ｘ+２ｙ²　の最小値を求めなさい。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

問１
　判別式＞＝０とおくとｋの二次不等式になるのでそれを解きます。
Ｄ＝４ｋ＾２－１２ｋ
　＝４ｋ（ｋ－３）＞＝０
よってｋ＜＝０、３＜＝ｋ

問２
ｙ＾２＝１－ｘ＾２　なのでこれをもう一つの式に代入して
３ｘ＋２（１－ｘ＾２）＝－２ｘ＾２＋３ｘ＋２
　　　　　　　　　　　＝－２（ｘ－３／４）＾２＋２５／８
ｘ＾２＋ｙ＾２＝１よりー１＜＝ｘ＜＝１なので、この範囲で上記の式がどんな値をとるか調べます。上記の式をｆ（ｘ）とするとそのグラフは上に凸で頂点は（３／４、２５／８）であり、これがｆ（ｘ）の最大値です。最小値の候補はｘの範囲の両端、つまりｘ＝１またはー１になります。
ｆ（１）＝３
ｆ（－１）＝－３
なので最小値はー３です。

回答No.2

spring135

問(1)　kx²　+　２kx +　３　=　０　(1)
が実数解をもつような　k　の値の範囲を求めなさい。

方程式(1)よりk≠0、よって(1)は
x^2+2x=-3/k (2)
と等価
よって
y=x^2+2x (3)
y=-3/k (4)
方程式(3)と(4)の交点を考えればよい。

(3)は
y=(x+1)^2-1
よりy≧-1

従って
-3/ｋ≧-1
のとき実数解を持つ
これより

3/k≦1

k<0
では成立。
k>0
ではｋ≧3

以上より
ｋ≧3が答え

問(2)　実数　ｘ、ｙ　が　ｘ²+ｙ²=１　を満たすとき、３ｘ+２ｙ²　の最小値を求めなさい

z=3x+2y^2
とおくと
ｘ²+ｙ²=１より
y^2=1-x^2
ｚに代入して
z=3x+2(1-x^2)=-2x^2+3x+2

ｘ²+ｙ²=１より
-1≦x≦1

z=-2x^2+3x+2
=-2(x^2-3x/2-1）

の-1≦x≦1におけるグラフを書けばよい
-3≦z≦13/2

お礼

ご回答ありがとうございます。細かい説明が非常に参考になりました！