過去問（二次方程式）教えてください；

質問

志望校の過去問なんですが、解説を読んでもどうしてもわからないところがあります・・・。
（２）の線（＿＿＿＿）を引いてあるところから↓がわかりません。

2a^2-2a-k^2+1≧0　
がなりたてば、
求めるkの値の範囲は
1-2(-k^2+1)≦0
になるのでしょうか・・・？？

かなり考えたのですがわからなくて・・・お願いします；

※^2は２乗です。

A,b,kを実数とする。Xの二次方程式
X^2-2(a-1)x-b=0・・・・・A
X^2-2kx-b+a^2=0・・・・・B
について、次の問いに答えよ。
（１）方程式Aが実数の解を持つようなa,bの関係式を求め、その表す領域をab平面状に図示せよ。
答え：b≧-(a-1)^2

（２）方程式Bが実数の解を持つ時には、方程式Aも必ず実数の解を持つようになる定数kの値の範囲を求めよ。

答え：Bが実数解を持つための必要十分条件は
k^2-(-b+a^2)≧0　　つまりb≧a^2-k^2　である。
いま、方程式Bが実数解を持つ時、方程式Aが必ず実数解をもつための必要十分条件は、任意のaに対して
a^2-k^2≧-(a-1)^2
つまり2a^2-2a-k^2+1≧0　
がなりたつことである。
__＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿↓
したがって求めるkの値の範囲は
1-2(-k^2+1)≦0
つまり2k^2-1≦0
∴-√2/2≦k≦√2/2・・・答え

回答No.2

debut · ベストアンサー

ｆ(ａ)＝２ａ^2－２ａ－ｋ^2＋１と考えると、任意のａについてｆ(ａ)≧０
となるのは、ｆ(ａ)の放物線がａ軸に接するか，ａ軸と交わらないかです。
接するときは　判別式＝０、交わらないときは　判別式＜０　だから、
まとめて　判別式≦０　となります。

したがって、１－２(－ｋ^2＋１)≦０

お礼

a軸との接し方を見るんですね。判別式をすっかり忘れていました・・・。ありがとうございます！

回答No.1

mister_moonlight

b≧-(a-1)^2 ‥‥(1)、と、b≧a^2-k^2　‥‥(2)をab平面上に図示して考えてください。
条件(1)の下で、(2)が成立するから、a^2-k^2≧-(a-1)^2‥‥(3)が成立します。
これをaについて整理すると、2a^2-2a-k^2+1≧0となります。
これがaの任意の実数について成立するためには、aの2次の係数が正から、Ｄ＝1-2(-k^2+1)≦0です。

お礼

なるほどー！！
判別式ですね。ありがとうございました！