連立方程式を代入法で解くか、同値変形で解くか

質問

二つの連立方程式
2x-y-1=0
x+y-2=0
を解くにあたって、
上の式は
3x-3=0
x+y-2=0
と同値である。
と言われたのですが、
私には同値変形と代入法の違いが分かりませんでしたし、
また同値変形したときに、"3x-3=0かつx+y-2=0"のように２式を足したもの(または引いたもの)かつ元の式いずれかになるのかも分かりません。
どなたか説明して頂ければ幸いです。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

「同値変形」という言葉は初めて聞きましたが、
しかし、わかりましたよ。

「同値」というのは、論理で出てくる「同値」と同じことです。
記号で言えば、「≡」や「⇔」のことです。

つまり、
2x-y-1=0
x+y-2=0
という連立一次方程式は、
２つの式の加減法で求めた3x-3=0を2x-y-1=0の代わりに用いて
3x-3=0
x+y-2=0
と書いても同値であるし、
２番目の式をｘについて解いたx=-y+2を用いて
2x-y-1=0
x=-y+2
と書いても同値です。

つまり、加減法も代入法も、同値変形の一種です。

元々２本の式しかありませんから、加減法や代入法で出てきた式を使って３本以上の式を「作成」しても、そのうち独立なものは２本しかありません。
たとえば、
2x-y-1=0
x+y-2=0
3x-3=0
という３本の式のうち、１本は使わなくても解けてしまいます。
（つまり、１本捨てた残りの２本が、元の方程式と「同値」です。

また、
たとえば、２番目の式と、それを２倍にしたものだけで
x+y-2=0
2x+2y-4=0
という連立方程式を「作成」しても、答えは出ません。

まとめると、
同値変形とは、
「互いに独立なｎ本の一次方程式からなるｎ元連立一次方程式を、
　そのｎ本の式のどれかを使って、
　ほかの、互いに独立なｎ本の方程式からなる連立方程式に
　変形すること。」

ただし、
「余分な式」であっても、方程式を解く計算途中で用いることは、いっこうに構いません。

補足

http://www16.ocn.ne.jp/~suuri/lecture-seniorbasic/lecturenotes-1/lecture-basic1-5-3.pdf
同値変形は、上の所でやっておられるようなことのようなのですが、
結局は、回答者様が言っておられること、なのでしょうか？

回答No.5

sanori

再び登場。

＞＞＞
同値変形は、上の所でやっておられるようなことのようなのですが、
結局は、回答者様が言っておられること、なのでしょうか？

そういうことです。
そのリンクでやっていることは、下記。

x^2 - 1999x + 999000 = 0　・・・（あ）
x^2 - 1997x + 997002 = 0　・・・（い）

・式（あ）
・式（い）
という連立方程式。

　　↑↓（同値）

・加減法で作った、式（い）－式（あ）　という式・・・（う）
・式（い）
という連立方程式。

　　↑↓（同値）

・式（う）より、ｘ＝９９９
・式（い）
という連立方程式。

　　↓

・ｘ＝９９９　は、共通解。

お礼

ありがとうございます。
納得がいきました。

回答No.3

tent-m8

No.2です。補足します。

連立方程式が特殊な形をしている場合、等値法と呼ばれる解法があります。（代入法とみなすこともできる）
同値変形とは、そのことかもしれません。

たとえば、
2x=3y-1 ・・・(1)
2x=y+1　・・・(2)
2xが、共通ですから、
3y-1=y+1
ここからyを出し、どちらかに代入してxを求めます。

補足

No.4の回答の下に補足をつけましたので、
もしよければURLを参考にして考えてくださるとうれしく思います。

回答No.2

tent-m8

「同値変形」というのは、初めて聞きました。

今はどのように教えているか知りませんが、連立方程式の解き方は、基本的には代入法と加減法です。

2x-y-1=0 ・・・(1)
x+y-2=0 ・・・(2)

(1)+(2) で、3x-3=0　になります。(加減法）
これからxを求め、(1)か(2)のどちらかに代入すれば、yが求められます。

代入法の場合、y=～の形に変形する必要があります。（x=～でもよい）
(2)より、y=2-x　・・・（2')
(2')→（1) 2x-(2-x)-1=0
これを整理すると、やはり3x-3=0　になります。
xを求め、(2')に代入すると、yが求められます。

回答No.1

ojisan7

>代入法で解くか、同値変形で解くか
連立２元１次方程式の解法は「代入法」と「加減法」です。「同値変形」は解法というよりは、あらゆる方程式の解法に求められる「要請」です。たとえ、代入法であっても、同値変形の要請は満たされなくてはなりません。たとえば、連立方程式
2x-y-1=0
x+y-2=0
の解は
x=1
y=1
ですが、この解は元の連立方程式と同値です。つまり、解から元の連立方程式を導くことができますね。このように与えられた式を変形して導いた式から、逆に元の式を導くことができる場合、このような式の変形を同値変形というのです。
「方程式を解く」ということは、その解法がどんなもの（加減法、代入法、等々）であれ、「同値変形」によって「解」を導くことをいうのです。

>2x-y-1=0
x+y-2=0
を解くにあたって、
上の式は
3x-3=0
x+y-2=0
と同値である。
と言われたそうですが、誰が言ったか知りませんが、この部分の用語の使い方は正しいですね。確かに、下の式から上の式が導かれますから。