累乗について

質問

高校数学では、aが正実数、nが正整数の時、a^(1/n)はaのn乗根の内、実数のものとして定義しますよね？
ですが累乗の定義を拡大すると、i^2は二つ値を持ちますし、i^iに至っては無限個の値を持ちます。
そう考えると、a^(1/n)もn個の値を持つものとして定義した方が自然な気がするんですが、どうなんでしょうか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

←No.1 補足
2^(1/2) = ±√2 となる x^(1/2) と
2^(1/2) = √2 となる x^(1/2) は、別のモノだというだけです。
前者は多価関数、後者は前者から取り出した一価関数のひとつです。
その二つを、複素関数と実関数として区別しようとするから、
多価版の値が実数になるとき、混乱するのでしょう。
高校では、多価関数を導入しないために、
2^(1/2) = √2 のほうの x^(1/2) だけが登場するのです。

お礼

結局、値を一つにしたいから、正の方だけ取るように定義したということですか。
まあ、そう定義したのなら受け入れるしかないようですね。
分かりました、ありがとうございました。

回答No.3

bururutti-2

＞累乗の定義を拡大すると、i^2は二つ値を持ちますし、
＞i^iに至っては無限個の値を持ちます。

え？累乗したら複数の値を持つなんて初耳なんだけど、「定義を拡大」って複素数まで拡大するって意味だよね？
２乗したら２つの値を持つ複素数が存在するの？？？
逆質問になってしまいましたね。自分も勉強不足のようですね。

さて本題ですが、自分なりに理由を考えてみました。

まず、ａ＝ｃｏｓθ，ｂ＝ｓｉｎθ，偏角をθとすると、複素数は次の式で表せます。

ａ＋ｂｉ＝ｅ^(iθ)　（オイラーの公式）

ここで、ｎ乗すると次の式になります。

｛ｅ^(iθ)｝^n＝ｅ^(iθ・n)＝ｅ^{i(nθ)}・・・(1)

つまり、偏角は元のｎ倍になります。
たとえば２乗なら偏角は２倍，３乗なら偏角は３倍といった具合です。

実際に試してみると２＋２ｉの偏角はπ／４になり、２乗したら８ｉで偏角はπ／２となり２倍になっています。
３乗したら－16＋16ｉで偏角は３π／４となり３倍になっています。

それなら１／ｎ乗の場合、偏角は１／ｎ倍の値にした方が自然だと思います。
つまり、ａ^(1/n)は次のように定義出来るのではないでしょうか？

「ｎ乗してａになる数」かつ「偏角が１／ｎ倍」

２^(1/2)にしても－√２は偏角がπで元の偏角（０）の１／２倍になっていません。
そしたら(1)の式を満たさなくなってしまいますよね。
だから１個の値を持つように定義しているんだと思います。

回答No.1

spring135

aを極座標表示すれば
a=re^(iΘ）
a^(1n)=r^(1/n)e^(iΘ/n)
Θ=2πにとるとaが実数の場合になります。

実数の範囲で議論するか、複素数の範囲で議論するかは最初に取り決めておけばよろしい。

補足

なるほど。
でも、実数の範囲で議論するにしても、高校では2^(1/2)=√2と教えられますが、-√2も実数なのにこちらだけ含めないのは変な気がしてしまいます。
これはなぜなのでしょうか？