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平方根の計算
非常に簡単な問題ですが娘に質問されて、ふと解からなくなってしましました。考え方を教えてください。 問題：次の式を計算しなさい。 √2^2 - √（-2)^2 (２の二乗の平方根 マイナス -２の二乗の平方根） 簡単に考えれば ０ に成るのですが、娘は a^2の平方根の解は±a だからこの場合は ±２ ー ±２ となり ４，０、-４の３通りの解が出るのではないか または第１項の解は２と指定してあり、第２項の解はー２と 指定してあると考えれば答えは ４ に限定される。 というのです。私も実計算でこのような式を扱うことは長くして いなかったので少し混乱います。 回答には±の場合分けは無いようですが 何故 √a^2=±a が適用 されないのか説明をお願いします。 尚、問題は質問の意図を明確にするために私のほうで単純化して 作ったものです。
- yasu2209
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「平方根」という言葉と、「√」という記号の意味の違いを覚えましょう。 平方根は、「平方したらその数になる数」です。 したがって９の平方根は２つあり、ひとつは３でもうひとつは－３です。 √の記号は、「平方根のうちの正のほう」を指定する記号です。 「√９」ってのは、「９の平方根のうち、プラスの方」つまり「３」です。 もうひとつの平方根をあらわすときには、√の記号の前にマイナス記号をつけて、 「－√９」とします。これが「９の平方根のもうひとつの方」つまり「－３」です。
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- info22
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> 簡単に考えれば ０ に成るのですが、 > √2^2 - √（-2)^2 =√4-√4 = 2-2 = 0 が正解です。 > 回答には±の場合分けは無いようですが 何故 √a^2=±a が適用 > されないのか説明をお願いします。 √A は Aの平方根の正またはゼロの値を表す（定義） √(a)^2 = |a| (aの絶対値) です。 つまり a>0なら √(a)^2 = a ＞０ a=0なら √(a)^2 = 0 a<0なら √(a)^2 = -a＞0 です。 √(a^2) = ±a は形式的に覚えてはいけません。 √(a^2)は正負の両方の値を表すのではありません。 √(a^2)の値は1つだけで 正またはゼロのものを表します。 難しく言えば √(a^2)は x^2=a^2 つまり x=±a のx≧0の解の √(a^2) = |a| (＞0) を表します。 x＜0の解は -√(a^2)=-|a| (＜0) で表します。 √(a^2)=|a| √{(-a)^2}=√{(-1)^2x(a)^2}=√(a^2)=|a| あるいは √{(-a)^2}==|-a|=|a| です。 > a^2の平方根の解は±a だからこの場合は この表現は正しいとはいえません。 「方程式x^2=a^2の解は±a 」が正しい表現です。 √(a^2)の記号は「a^2の=±a」ではなく、 x^2=a^2の解の内の「正またはゼロ」の方 を表します（定義）。 > ±２ ー ±２ となり 共に2通りの値をとることはないので間違いです。 √は正の方の値しかとりませんので |２|－|－２| ＝ ２－２＝０ の１通りの計算しかありません。 > ４，０、-４の３通りの解が出るのではないか 全くの間違いです。 √の記号を正しく教えてやって下さい。 √は負の値をとらない。負の方は －√で表すことに決まられています。 √{(-2)^2}=√4==2 √(2^2)=2 です。 √{(-2)^2}=|-2|=2 √(2^2)=|2|=2 と考えてもいいでしょう。
お礼
詳しい回答ありがとうございます。 結論的にはすでに回答を頂ましたが、全体をよく理解するために、回答者様のこの回答をよく理解するよう娘に伝えたいと思います。 ありがとうございました。
- Silentsea
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平方根≠√ です √とは平方根の解のうち正のもの"のみ"を表す記号です 参考urlが分かりやすいと思います。
お礼
回答ありがとうございます。 参考URLも参考にさせていただきます。
>√（-2)^2=√4＝=±2 とはならないのですか… ＃２のお答え通りルートの値は常に正です。 皆様がご指摘のようにルート記号と平方根とは別のモノです。 ａの平方根は±√ａになります。
お礼
回答ありがとうございました。 お恥ずかしい限りです。
＞a^2の平方根の解は±a だからこの場合は ＞ ±２ ー ±２ となり ＞ ４，０、-４の３通りの解が出るのではないか a^2の平方根の解は±a ですが √2^2は２で - √（-2)^2は-2にしかなりません 根本がずれすぎｗ
お礼
早速の回答ありがとうございます。 √2^2は２で - √（-2)^2は-2にしかなりません というところがよく解からないのです。 √2^2=√4=±2 √（-2)^2=√4＝=±2 とはならないのですか？ 恥ずかしい質問で申し訳ないですがもう少し詳しく説明していただけるとありがたいです。
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