平方根の計算について

質問

現在、公務員試験を受けようと勉強しているのですが、平方根の計算問題で納得がいかない問題があります。どなたかわかる方いらっしゃいましたらご指導お願いいたします。以下問題です。
　(問)ａ＝２+√２、ｂ＝２-√２のとき、ａの２乗(ａ×ａ)-ｂの２乗(ｂ×ｂ)の値を求めるとどうなるか。

　問題集の答えでは８√２という答えになっています。私がどう計算しても１６にしかなりません。計算の手順など教えていただけたら幸いです。

回答No.1

proto · ベストアンサー

a^2 = 6+4√2
　b^2 = 6-4√2
　a^2-b^2 = 6+4√2 -(6-4√2) = 6+4√2 -6+4√2 = 8√2
多分引き算の括弧を展開するところでミスっている。

補足

すみません単純な計算間違いを自分がしているようです。もっと基本に戻ってしまうのですが、ａ＾２＝６+４√２の展開方法はどのようになるのでしょうか？？

回答No.4

proto

ものすごく基本まで戻ります。
分配法則
　　a(b+c) = ab+ac
は分かりますか？

これを使ってa^2=(2+√2)^2の展開
　　a^2 = (2+√2)^2 = (2+√2)*(2+√2)
　　　　= (2+√2)*2 +(2+√2)*√2
右辺の前の項と後ろの項にそれぞれもう一度分配法則を使う。
　　　　= 2*2 +(√2)*2 +2*(√2) + (√2)*(√2)
　　　　= 4 +2√2 +2√2 +2
　　　　= 6+4√2

これが基本の基本に戻ったときの展開方法です。

また、公式として
　　(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
を覚えておくと便利でしょう。
a=2,b=√2として
　　(2+√2)^2 = 4 +2*2*√2 +2
　　　　　　　= 6+4√2

お礼

計算してみてわかりました！！ありがとうございます。（２+√２）及び（２-√２）の二乗をそのまま二乗していたためおかしな計算になってしまったみたいです。（２+√２）＝（ａ+ｂ）と置き換えて計算をしてみたらでました。
　学生を離れて勉強しなかったために忘れてしまいましたが、おかげでとくことができました！！本当にありがとうございます。

回答No.3

altered

a^2-b^2=(a+b)(a-b)って公式をご存じじゃないでしょうか？
当てはめますと
[(2+√2)+(2-√2)][(2+√2)-(2-√2)]
=4*2√2=8√2ですね。

回答No.2

nious

有名な因数分解の公式：A^2-B^2=(A+B)(A-B)を利用してみましょう。

補足

参考書でも同じ公式があったので計算してみたのですが、√を２乗した場合は√は外れないんですか？