指数関数～大小の比較

質問

次の問題のもっとも簡単な解き方を教えてください

次の数の大小を比較せよ。

(1)
3^(1/2) , 7^(1/3) , 12^(1/4)

(2)
(1/2)^40 , (1/3)^30 , (1/4)^20

自分の解き方
(1)
全部を12乗すると

3^6=729
7^4=2401
12^3=1728
(↑全部手計算)

∴3^(1/2) < 12^(1/4) < 7^(1/3)

(2)
(1/2)^40 , (1/3)^30 , (1/4)^20
→(1/16)^10 , (1/27)^19 , (1/16)^10

∴(1/3)^30 < (1/2)^40 = (1/4)^20

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

質問者さんの考え方で十分なように思いますが、さらに簡単にできるところがないかという点で見てみますと、次の２点が考えられます。

(a) 3^(1/2) と 12^(1/4) の比較
　この２つの累乗の数は、４倍すれば整数になりますので、3^6を計算しないで済むと思います。
　　3^(4/2)＝９　＜　１２＝12^(4/4)

(b) 7^4の計算
　7^2＝49　から 49^2 をもし筆算で掛け算を行ったのであれば、暗算でもできる計算方法があります。
　　49^2＝(50-1)^2＝50^2-100+1＝2401
　この計算は、インドの2桁同士の九九で使われている考え方でもあるようです。

回答No.2

noname#47975

(2)の解き方はそれで良いと思います。
というよりも、完璧と言っても良い位でしょうね．．。

(1)についても別に自力で計算が出来るというのであれば問題は
ないかと思います。

ただ、工夫次第で、計算量は減らせるかと思います。

(a) 3^(1/2)と2^(1/4)を比較

　　3^(1/2) = (9)^(1/4)より、
　　3^(1/2) < 12^(1/4)となる事が分かります。

(b) 3^(1/2)と7^(1/3)を比較

3^(1/2) = 27^(1/6)
7^(1/3) = 49^(1/6)より、
27^(1/6) < 49^(1/6)である事から、
3^(1/2) < 7^(1/3)になります。

(c) 7^(1/3)と12^(1/4)を比較

7^(1/3) = (7^4)^(1/12)
12^(1/4) = (12^3)^(1/12)

7^4 = (49)^2
12^3 =(48/4)^2 × 12 = (48)^2 × (12/16)より、
12^3=(48)^2×(12/16) < (48)^2 < 7^4 = (49)^2となるので、

7^4 > 12^3より、(7^4)^(1/12) > (12^3)^(1/12)となるので、
7^(1/3) > 12^(1/4)となります。