対数不等式の解き方考え方

質問

お世話になってます。対数方程式は比較的簡単に解けるのですが、不等式にてこずります。基本的な問題なのですが、

問 不等式 log[3](x+2)＜2 を解け。(底は3です)

一応やってみました。間違ってたら御指摘下さい。

2=log[3]9であるから、
log[3](x+2)＜log[3]9。

底＞0 より、log[3](x+2)＜log[3]9 ならば、x+2＜9。よってx＜7。
また、真数＞0より、x+2＞0、よってx＞-2。

以上より、 -2＜x＜7 。

宜しくお願いします。

回答No.2

dreamfighter · ベストアンサー

＞＞底＞0 より

「底＞1より」ですね。「0＜底＜1」だと不等号が変わりますね。（おそらくタイプミスでしょう。）

＞＞また、真数＞0より、x+2＞0、よってx＞-2。

真数条件は対数方程式・不等式での最大の注意点です。これは、与えられた対数の式で適用しましょう。

（例）
log[2](x-1) + log[2](x-2)=2を解け。

（正解）
真数条件は、x-1＞0,x-2＞0　∴　x＞2
与式を変形して
log[2](x-1)(x-2)=log[2]4

・・・・・・・・・

（誤答）
与式を変形して
log[2](x-1)(x-2)=log[2]4
ここで真数条件より、
(x-1)(x-2)＞0　∴　x＜1,x＞2　（これではlog[2](x-1)　が真数＜0になってしまいますね）

十分注意してください。もちろんこの問題ではあなたは間違ってはいませんよ。今後の計算で注意してください。

お礼

丁寧な御指摘に感謝します。自分の質問内容を改めて見直したら、御指摘の通り、底＞1を底＞0とミスしておりました。すいません。

方程式も不等式も基本はやはり対数関数の性質が重要ですね。指数についても同様だと思いますが。

自分の解釈の仕方にズレがなくて少しホッとしました。推論の順序には気をつけていこうと思います。

ありがとうございました。

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。
解は合っていますが、微妙なところも。

まず、「真数条件」を考えます。
（というか前提条件なので、先に処理しておくぐらいな感じで）
ここはきちんと書かれていますね。

次に「大小比較」ですが、
底については、0＜ 底＜ 1か 1＜ 底かでの場合分けになります。
いまの場合、1＜ 底ですね。

log[3](x+2)と log[3](9)の比較というのは、
3^(x+2)と 3^9の比較をしていることと同じことになります。

もしこれが、(1/3)^(x+2)と (1/3)^9となると、指数の大小関係は逆転しますよね。

お礼

推論の順序ですね。先ずは真数条件から！

覚えておきます。ありがとうございました。また宜しくお願いします。

回答No.1

mizutaki5654

大丈夫です！
合ってます！

お礼

嬉しいです。ありがとうございました！