対数不等式の範囲について

質問

log2　x(x-2) < log2 8　についてのxの範囲ですが、どちらが正しいでしょうか？

(1)
真数の範囲はx(x-2)>0よって x<0 , x>2
また方程式の底は1より大きいので　x(x-2)<8
-2<x<4
範囲を合成すると、　-2<x<0 , 2<x<4

(2)左辺は log2 x + log2 (x-2) に変形できるので　x>0かつx>2 …x>2
また方程式の底は1より大きいので　x(x-2)<8
-2<x<4
範囲を合成すると 2<x<4

(1)の条件でも不等式は成立しますが、真数の条件式はどちらがただしいのでしょうか？
(1)が間違いであれば理由もほしいです

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

(1)が正しいです。

以下、底を省略して書きます。

logAB=logA+logBという式を使われたのだと思います。・・・※

この式変形（左辺から右辺）が可能なのは、logAとlogBが真数条件Ａ＞0かつＢ＞0を満たしていることが条件となります。

ですので、問題の設定ではlogx(x-2)=logx+log(x-2)と変形した時点で、真数条件がx>0かつx-2>0と厳しくなってしまいます。

ここではlogx(x-2)の真数条件を考えればいいだけですので、x(x-2)>0よりx<0,2<xとするだけでよく、※を使って変形したそれぞれの対数の真数条件x>0かつx-2>0ではこの問題に関しては条件が厳しすぎるということです。

具体的に(1)の結果から出たx=-1を考えると、
logx(x-2)=log(-1)(-3)=log3で真数条件を当然満たしています。

一方、(2)のように変形してしまうと、
logx(x-2)=logx+log(x+2)=log(-1)+log(-1+2)となり真数条件を満たしません。
これは式を左辺から右辺に変形するさいにx>0,x-2>0という条件が前提にあるからです。

※式をつかって変形する際にはＡ＞0、Ｂ＞0という真数条件が前提となります。この問題の場合その前提はありませんから、(1)で計算するのが正しいということです。

回答No.4

MarcoRossiItaly

皆さんのご回答を読んでもうお分かりと思いますが、要するに、「log2 x + log2 (x-2)」と分解してしまった時点で、既に失敗。「log2 |x| + log2 |x-2|」と書けば、まあ分けられるわけですが、正だの負だの、場合分けが多くてうっとうしいので、(1)のように単純に2次関数で考えたほうがラクそうですね。

回答No.3

birth11

(1) の回答の流れは正しい。
答えも正しい。

(2) のパラドックスは
log2 ( x ( x - 2 )) を分解するとき
x ( x - 2 ) > 0 が
x = - 1 ( < 0 ) のときも成り立つにもかかわらず、
log x を 使ってしまったところににある。

以上。

回答No.1

Tacosan

(1) が正しい.