対数不等式

質問

対数の不等式の問題で２題分からない問題があるのですが

(log_{2}x)^2－2log_{4}x^3＋2＝0

この不等式を解く問題なのですが解答はｘ＝２，４と載っているのですが
私が解いて見てもｘ＝２しか出てきません。
どうすればｘ＝２，４と出るのでしょうか？

また

log_{x}(4x-3)＞2

という問題なのですが。私の答えは

3/4＜x＜1 , 1＜x＜3 , 3＜x

となったのですが、解答には

3/4＜x＜1 , 1＜x＜3

しか書いていません。なぜ　3＜x
は入らないのでしょうか？
一度に２題も質問してすいません。
教えて下さい。お願いします

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

emiyanさん、こんにちは。
指数・対数不等式は、ややこしいですよね。

＞(log_{2}x)^2－2log_{4}x^3＋2＝0
この不等式を解く問題なのですが解答はｘ＝２，４と載っているのですが
私が解いて見てもｘ＝２しか出てきません。

こういう問題では、低をそろえて考えればいいです。
分かりやすくするために、log_{2}x=Xと置きましょう。

さて、2log_{4}x^3の部分ですが、低が４になっているので、低を２にそろえると
2log_{4}x^3=2log{2}x^3/log{2}4
=2*3log{2}x/2
=3X　と置けますね。

したがって、最初の式は
(log_{2}x)^2－2log_{4}x^3＋2=X^2-3X+2
=(X-1)(X-2)=0
よって、X=1,2
X=1のとき、log{2}x=1ですから、x=2
X=2のとき、log{2}x=2ですから、x=4と求められます。

＞log_{x}(4x-3)＞2

最初に、4x-3>0でなければならないから、x>3/4

まず、低ｘによって場合分けしましょう。
x>0のとき、
x^2>(4x-3)
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0
x<1,3<x
ここで、最初に書いたように、x>3/4という条件があるので、3/4<x<1・・（１）

次に、x<0のとき
x^2<(4x-3)
x^2-4x+3<0
(x-1)(x-3)<0
1<x<3・・・（２）

（１）（２）より、求める範囲は3/4<x<1,1<x<3となります。

emiyanさん、頑張ってくださいね。

お礼

fushigichanさん、こんにちは
本当に分かりやすい説明ありがとうございました。
指数・対数の分野は難しくて頭がごちゃごちゃに
なってしまいますが、一生懸命頑張りたいと思います。
本当に有り難う御座います。

回答No.3

noname#24477

下の解の中で
(log_{2}x)^2＝２(log_{2}x)　としているところがまずいです。
x^2なら２を前に出せますが、いまは違いますね。

(log_{2}x)＝X　とでも置いてください。
Xの２次方程式になります。

お礼

ojamanboさん、早くて的確なお返事ありがとうございます。
(log_{2}x)＝Xと置いて解くと解けました。
本当にありがと御座いました。

回答No.1

noname#24477

最初の問題では底を２にそろえればできると思いますが
どうやって解いたかを書いてみてください。

２つ目は底が１より大きいときと小さいときで違ってきますから
その場合わけが必要ですね。
ｘ＞３が出てくるのはｘが１より小さい場合で不適です。

補足

ありがとうございます！２つ目の方は分かりました。
えっと、一番目の問題なのですが
私は

(log_{2}x)^2-(log_{4}x^3)^2+2=0

(log_{2}x)^2-2log_{4}x^3=-2
2log_{2}x-2(log_{2}x^3)/2=-2
2〔log_{2}x-(log_{2}x^3)/2〕＝-2
log_{2}x-(log_{2}x^3)/2=-1
log_{2}(2/x^2)=log_{2}2^-1
2/x^2=1/2
x^2=4
x=±2
x＞0より
x=2
と解いたのですが。見ずらくてすいません。