対数の計算

質問

不等式を解いてます。

log　1/3　(ｘ-2)　≧　log　9　1/ｘ
を解いているのですが分からず答えを見たら
途中式がなく、
log3(ｘ-2)＾2≦log3ｘとなっています。
その後は、分かるのですが
対数の計算部分を詳しく解説お願いします。

回答No.1

sanori

こんにちは。

公式嫌いの私ですが、この公式はとても便利だと思うので、ぜひ覚えた方がよいです。

ｃが何でも
log[a]ｂ　＝　log[c]ｂ／log[c]ａ

ですので、
log[1/3]（ｘ－２）　＝　log[3]（ｘ－２）／log[3]（１／３）
　＝　log[3]（ｘ－２）／log[3]３^(-1)
　＝　log[3]（ｘ－２）／（－log[3]３）
　＝　－log[3]（ｘ－２）

log[9]（１／ｘ）　＝　｛log[3]（１／ｘ）｝／log[3]９
　＝　｛log[3]（１／ｘ）｝／log[3]３^2
　＝　｛log[3]（１／ｘ）｝／（２log[3]３）
　＝　｛log[3]（１／ｘ）｝／２
　＝　｛log[3]ｘ^(-1)｝／２
　＝　（－log[3]ｘ）／２

よって、不等式は、
－log[3]（ｘ－２）　≧　（－log[3]ｘ）／２
となります。

もう少し進めて
log[3]（ｘ－２）　≦　（log[3]ｘ）／２
２log[3]（ｘ－２）　≦　log[3]ｘ
log[3]（ｘ－２）^2　≦　log[3]ｘ