対数の不等式の問題

質問

次の不等式を解きなさい。
（１）　log(2)(3x-1)<3

（２）　log(1/3)(4x+1)≦-4

という問題があるのですが、上の２式をどうやって解くのか、その過程と解答を教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

分数の大小比較はどうやりますか？
分母をそろえてから比較しますよね。
2と√3の大小比較はどうやりますか？
2を√4に変形してから比較しますよね。

大小関係の比較は、比較したい2つのものを同じ立場にしてから比較します。
今回もそれと同じです。

> （１）　log(2)(3x-1)<3

対数log(2)(3x-1)と整数3の比較ですが、
整数は簡単に対数を用いた形に変形できます。
まず3を「2を底とする対数」に直すと

3 = log(2)(8)　(2の3乗が8なので、3 = log(2)(8)と変形できる)

となります。
よって不等式log(2)(3x-1) < 3は

log(2)(3x - 1) < log(2)(8)

となります。これで両者が同じ立場になります。

後はここから大小関係を考えればよいです。
底が2の対数の場合、
真数が大きければ大きいほど、対数の値は大きくなります。
なので真数部分で比較すれば良いことになります。

> （２）　log(1/3)(4x+1)≦-4

同様に右辺を底1/3の対数に変形し、大小関係を考えます。

(1)と同様に真数部分を比較してあげればよいですが、
一つ注意点があります。
底が1/3の対数の場合、
真数が大きければ大きいほど、対数の値は「小さく」なります。
この点だけ気をつけて下さい。

行き詰ったら、xに具体的な値を代入して検証してみると良いと思います。

お礼

とても丁寧な解説、ありがとうございました。解決いたしましたので、お礼申し上げておきます。お手数掛けて申し訳ありませんでした。

回答No.1

wildcat-yp

両辺を底の対数で表現すれば良いのでは？
たとえば、（１）の場合は、３＝log(2)xxxという風に。

お礼

解決いたしましたので、お礼申し上げておきます。ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
大変恐縮ですが、できれば解答まで教えていただけないでしょうか。お手数お掛けして申し訳ありません。