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対数関数 不等式 お願いします。
次の不等式を満たすxの値を求めよ という問題です。 (1) 3<log底が10 真数がx<4 (2) 3<log底が1/2真数がx<4 質問したばかりであるのに 申し訳ございませんが、 教えてください。 よろしくお願いします。
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*訂正* 【問題】 次の不等式を満たすxの値を求めよ。 (1) 3<log[10]x<4 (2) 3<log[1/2]x<4 【解答】 (1) 3<log[10]x<4 ⇔ 3log[10]10<log[10]x<4log[10]10 ⇔ log[10]10^3<log[10]x<log[10]10^4 ⇔ log[10]1000<log[10]x<log[10]10000 log[10]xは、xの増加に伴って単調に増加するから、 1000<x<10000 … (Ans.) (2) 3<log[1/2]x<4 ⇔ 3log[1/2]1/2<log[1/2]x<4log[1/2]1/2 ⇔ log[1/2](1/2)^3<log[1/2]x<log[1/2](1/2)^4 ⇔ log[1/2]1/8<log[1/2]x<log[1/2]1/16 log[1/2]xは、xの増加に伴って単調に減少するから、 1/16<x<1/8 … (Ans.)
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- hinebot
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(1)3<log[10]x<4 log[10]x = t とおくと、log の定義より、x=10^t t>0 のとき 関数 y=10^t は単調増加 よって、3<t<4 (与式)ならば 10^3<10^t<10^4 すなわち、1000 < x < 10000 または、底と真数が等しい対数は1(log[a]a = 1)であるのを利用して 3<log[10]x<4 ⇔3・1<log[10]x<4・1 ⇔3log[10]10<log[10]x<4log[10]10 ⇔log[10]10^3<log[10]x<log[10]10^4 log[10]x は単調増加なので、不等号の向きはそのままでlog を取る(真数だけにする)ことができるので ⇔10^3 < x < 10^4 すなわち、1000 < x < 10000 (2)も同様。 ただし、y=(1/2)^t あるいは log[1/2]x は単調減少なので、不等号の向きが 変わることに注意してください。
お礼
いつも皆さんの親切に 甘えさせてもらっていて 申し訳ないです。 hinebotさんありがとうございます。
- Mell-Lily
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3<log[10]x<4 ∴ 3log[10]10<x<4log[10]10 ∴ log[10]10^3<x<log[10]10^4 log[10]xは、xの増加に伴って単調に増加するから、 10^3<x<10^4 ∴ 1000<x<10000 … (Ans.) 3<log[1/2]x<4 ∴ 3log[1/2]1/2<log[1/2]x<4log[1/2]1/2 ∴ log[1/2](1/2)^3<log[1/2]x<log[1/2](1/2)^4 log[1/2]xは、xの増加に伴って単調に減少するから、 (1/2)^4<x<(1/2)^3 ∴ 1/16<x<1/8 … (Ans.)
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