√の不等式の解き方

質問

すべての実数xに対してlog(x+√x^2+1)を考える。

という問題があったのですが、問題文をしっかり読まないで、真数条件とかを確かめてしまいました。まあそれは置いておくことにして、この問題においてxの範囲が明記されてない場合、真数条件ならびに(√内部)≧0というのを調べることになると思うのですが、√が入った不等式はどのように解けばよいのでしょうか？
この場合√内部が正は明らかですから真数条件からx+√x^2+1＞0を示すことになります。そうすると第２項は正と分かっているので第１項についてのみ考え、結局x＞0ということになるのでしょうか？仮にこの考え方があっていたとしても、他の全ての場合（√の入った不等式の解法）に通用するでしょうか？
例えば方程式の場合√だけの項を片側に移項して両辺二乗すれば√は消えて普通に解けます。（ところで二乗できるのは両辺が正だと言い切れる場合だけですよね？）不等式でもこのように二乗の考え方で解いたりするのでしょうか？

今更ですが、もしかすると√以前に不等式の解き方が理解できていないのかもしれません。こんなレベルですがアドバイスよろしくお願いします。

回答No.1

tarame · ベストアンサー

x＋√(x^2+1) の場合ですが
√(x^2+1)＞√x^2＝|x|≧－x より
x＋√(x^2+1)＞0 は、すべてのｘで成り立つことが分ります。

一般的には、こんな風に考えるとよいかと…。
【√(x^2+1)＞－x の証明】
(ア)ｘ≧0 のとき
　左辺＞0, 0≧右辺 より　左辺＞右辺
(イ)ｘ＜0 のとき
　左辺＞0,右辺＞0 より
　(左辺)^2－(右辺)^2＝x^2+1－x^2＝1＞0
　よって、左辺＞右辺

※「負になるとき」と「正になるとき」で場合分けをする。

お礼

すみません！理解力が悪くて分からないとこがありました。

√(x^2+1)＞√x^2＝|x|≧－x より
x＋√(x^2+1)＞0 は、すべてのｘで成り立つことが分ります。

とありましたが、上の不等式からどうやってすべてのxにたどりつくのでしょうか？

回答No.4

takeji365

真数条件を考えて、x+√（x^2+1）＞０というのは良いと思います。

そのときに「第２項が正なので、結局ｘ＞０を示せば良い」というところが違って、ｘが負の場合でも、もしｘの絶対値より正の数√（x^2＋1）の絶対値のほうが大きければ、真数条件のx＋√（x^2+1）＞０が成立するのです。

単純にｘ＞０という答えにならないことが分かってしまったわけですから、真数条件の左辺のｘを移項して、　√（x^2+1）＞-x　という不等式について考えなければなりません。

ところが、ちょっと考えてみると、この不等式は常に、つまりどんなｘを代入しても、成り立つことが分かります。例えば、ｘ＝－２としてみると、
　√（４+1）＞-(-2)＝２＝√４
ですよね。

つまり、√（x^2+1）とｘ＝√（x^2）の絶対値同士を比べると、いつも√（x^2+1）の√の中身のほうが１だけ大きくなるわけです。

これを数式であらわしたの＃１さんのはじめに書かれた部分なわけです。

こんな感じでどうでしょうか。

お礼

なるほど！言葉で説明していただいてやっと分かりました！ほんと理解力ないです...ありがとうございます！

回答No.3

graduate_student

#1さんの考え方はスタンダードな感じがします．
＃2さんの考え方は巧みな感じがします．

不等式で特に重要なのは
「A/B > 0のときは，両辺にB^2(>0)を掛けて，
AB > 0とする．
これはA>0, B>0またはA<0, B<0である」
ということぐらいです．

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

masudaya

普通に

x+√(x^2+1)>0

を解いていいと思います.
今

y1=x
y2=√(x＾2+1)

とすると,問題はy1+y2>0
です.

今,y1,y2のグラフを書いてみます.
y1=x
は,すぐに書けますね.
y2=√(x＾2+1)
はx=0のときy2=1で漸近線がy=±xになる曲線です.

このグラフを見ると,y1+y2=0になる点があれば
その点x0は,x0<0ということが分かります.
もっとよくグラフを見ると,x<0でy2の漸近線が
y=-xなので,結局y1+y2は,つねに0より大になります.

お礼

グラフ化するという考え方もあるのですね！ありがとうございます。