分数不等式

質問

二次関数の分野を勉強していて、
１＜2/(x-1)を解けって問題があったんですけど、
0 < 2/(x-1) -1 ←１を移項
0 < 2-(x-1)/(x-1) ←通分
0 < 2-x+1/(x-1)
0 < -x+3/(x-1)
0×(x-1)^2 < (-x+3)×(x-1)^2 /(x-1) ←両辺に(x-1)の二乗を掛けた
0 < (-x+3)(x-1) ←右辺の分母は約分で消えてこの形に

これより、x<1またはx>3だと思うんですけど、
解答を見ると1<x<3になっています。なんで私のやり方じゃダメなんでしょうか？

回答No.1

-somebody- · ベストアンサー

0 < (-x+3)(x-1) ←右辺の分母は約分で消えてこの形に

ここまでは問題ないと思います。

ただ
この状態だと右辺のx^2の項の符号が負なので
x<1, 3<xとはなりません。

(y=(-x+3)(x-1)としてグラフを書けば分かると思います。)
0<-x^2+4x-3
(x-3)(x-1)<0

となるので
1<x<3ですね。

お礼

あー！
グラフ書いてみて初めてわかりました。
ありがとうございました

回答No.3

Trick--o--

0 < (-x+3)(x-1)
x = 0 … (-x+3)(x-1)=(-0+3)(0-1)=3*(-1)=-3 … 0 > (-x+3)(x-1)
x = 1 … (-x+3)(x-1)=(-1+3)(1-1)=2*0=0 … 0 = (-x+3)(x-1)
x = 2 … (-x+3)(x-1)=(-2+3)(2-1)=1*1=1 … 0 < (-x+3)(x-1)
x = 3 … (-x+3)(x-1)=(-3+3)(3-1)=0*2=0 … 0 = (-x+3)(x-1)
x = 4 … (-x+3)(x-1)=(-4+3)(4-1)=(-1)*3=-3 … 0 > (-x+3)(x-1)

∴ 1 < x < 3

お礼

ありがとうございました
自分でも確認できました

回答No.2

sanori

こんばんは。

ちゃんとかっこを付けていないのが気になりますが、

１＜2/(x-1)を解けって問題があったんですけど、
0 < 2/(x-1) -1 ←１を移項
0 < ｛2-(x-1)｝/(x-1) ←通分
0 < ｛2-x+1｝/(x-1)
0 < (-x+3)/(x-1)
0×(x-1)^2 < (-x+3)×(x-1)^2 /(x-1) ←両辺に(x-1)の二乗を掛けた
0 < (-x+3)(x-1) ←右辺の分母は約分で消えてこの形に

ここで、（－ｘ＋３）は、－（ｘ－３）と同じです。
ですから、そして、両辺に　-(x-3)(x-1)　を足して
（ｘ－３）（ｘ－１）　＜　０
となります。

ここで、二次関数　ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－３）　のグラフを考えれば、
下に凸であり、ｘ＝１とｘ＝３でＸ軸に交わります。
１＜ｘ＜３　の範囲で、ｙ＜０　となります。

ご参考になりましたら幸いです。

お礼

そんな考えができたんですね
ありがとうございました