分数式の恒等式について

質問

「２/（ｘ^2-１）=ａ/（ｘ-１）+ｂ/（ｘ＋１）の両辺が分数式として等しくなるような定数ａ，ｂの値を求めよ」という問題で与式の分数式の分母を０としない値（ｘ≠１、－１）の元で両辺にｘ^2-１をかけると
２=ａ（ｘ＋１）+ｂ（ｘ-１）
ここでなぜｘ=１、－１を代入して定数ａ，ｂをもとめてよいのですか？「分数式の分母を０としない値（ｘ≠１、－１）の元で」という条件がついているのでｘ=１、－１は代入できないのではないのでしょうか？
この部分が少し納得できません。どなたかお願いします。

回答No.4

tasu9 · ベストアンサー

分母を払ってるので代入してもOKですよ。
２=ａ（ｘ＋１）+ｂ（ｘ-１）
は1,-1以外のすべてのｘで成り立つ式なので、当然１や-1でも成り立ちます。・・・（ア）
なので、最初の式ではNGだった1,-1を代入してa,bを求めてよいのです。
（ア）のところは、「n次の等式がn+1個のｘで成り立つとき、この等式は恒等式となる」という性質を使っています。

答案には↑と同じことを書けば減点はないと思いますよ。
あと、この方法で求めたら、最後に本当に答えになっているかの確認が必要です。

お礼

ありがとうございました

回答No.6

pyon1956

代入法で恒等式を解いたとき、その答は、厳密には必要条件です。（これは整式の場合でも）
つまり「この答は正しいかどうかはわからないが、これ以外に答は無い」というものです。
元の式が整式の場合、実は十分条件にもなることが、#4さんや#5さんの仰るようにいえますので、この部分を高校数学では省略します。
しかし、分数式ではたしかに仰るように変な感じがしますね。ですから十分性をいえばいいのです。
つまりは実際そうなっていることをa,bに「答」を代入して式変形になっていることを確かめるのが必要です。

お礼

ありがとうございました

回答No.5

guuman

多項式の連続性から自明だからです

なお
２/（ｘ^2-１）=ａ/（ｘ-１）+ｂ/（ｘ＋１）
のａとｂを求めるのに
（ｘ^2-１）をかけるのは損です
頭の中で（ｘ－１）をかけて１を代入しａを出し
頭の中で（ｘ＋１）をかけて－１を代入しｂを出す
のがベストです
消える項があって楽だからです
瞬間芸になります

お礼

ありがとうございました

回答No.3

noname#17965

質問者様のお話しの通りです。確かにおかしいですね。普通は以下のように求めます。

右辺を通分します。つまり、右辺第一項の分子と分母にｘ＋１を掛け、第２項の分子と分母にｘ－１を掛けます。
すると右辺は１個の分数で表されます。

分子＝ａ（ｘ＋１）＋ｂ（ｘ－１）
＝（ａ＋ｂ）ｘ＋ａーｂ
分母＝ｘ＾２－１＝左辺の分母

ｘの恒等式として成立するために
ａ＋ｂ＝０
ａ－ｂ＝２

お礼

ありがとうございました

回答No.2

tatsumi01

確かに納得できません。
2 = (a+b)x + (a-b)
とし、x が (1, -1 以外の) どんな値でも上式が成立するので、a+b = 0, a-b = 2 とするのが正解でしょう。
ただ、 x = 1+ε, x = -1+ε でも成立するので、極限を取って 2 = a(x+1) + b(x-1) が x = 1, -1 でも成立するとすれば回答のようにできますが、記述問題だったら却って長くなりますね。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

sunasearch

私も納得できません。

おっしゃる通り、ある条件下で現れた式は、条件を満たす時にしか適用できません。

ですから、記述式だと減点もしくは不正解とされることもあるでしょう。

マークシート用の解き方として、とりあえず答えを出すためのテクニックとしては用いられるのかもしれません。

お礼

遅ればせながらありがとうごうざいました