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分数関数は恒等式と言えるのですか？
下の問いの分数関数の等式では、x=2 ,x=－3を除外しています。 つまり、定義域は 2と－3以外の数 恒等式の定義を「どんな数でも両辺の等式が成り立つ式」とすると、 下の問いの式では、x=2 ,x=－3では等式が成立しません。 つまり、どんな数でも成立する式ではありません。 よって、問いの分数式は恒等式の定義を満たさないので、恒等式とは言えないと 思うのです。もし、問いの分数式を恒等式と呼べるとしたら、その理由を教えて下さい。 （問）次の恒等式を満たすa、bを求めよ ５／{(x－2)(x＋3)} = a／(x－2）＋b／(x＋3)
- ganbaruzo12
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- 178-tall
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>（問）次の恒等式を満たすa、bを求めよ >５／{(x－2)(x＋3)} = a／(x－2）＋b／(x＋3) (問) を解く手は、右辺にて通分、分子項を左辺分子項に等しくする「恒等化」。 つまり、 a/(x－2) + b/(x＋3) = { a(x+3) + b(x-2) } / {(x-2)(x+3)} ↓ 5 = a(x+3) + b(x-2) なる整式の「恒等化」。 この整式での定義域は「すべての実数 x」。
- atkh404185
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ＡＮＯ．１です。 質問の答えをしていませんでした。 恒等式になります。
お礼
再度の回答、どうもありがとうございました。 自分の誤解に気付くことができました。
- info222_
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No.2です、 恒等式の定義は次の通りです（参考URL参照）、 「恒等式とは、等式すなわち等号 (=) を含む数式であって、そこに現れるあらゆる変数がどのような値にあっても、常に等号で結ばれた左右二つの数式の "値" が等しいもののことを言う。 変数の動く範囲は、文脈によって異なる。」 分数式の恒等式については、「変数の動く範囲は、文脈によって異なる。」が分数式の定義域の範囲となります。 重要な恒等式の中には、公式、定理、法則などの等式も多く存在します。 たとえば三角関数の公式 1+tan^2(x)=1/cos^2(x) (定義域：x≠nπ+(π/2), nは任意の整数) も恒等式です。
お礼
回答くださり、どうもありがとうございました。 悩んでいた事が、すっきりしました。
- info222_
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数学の用語の定義を正しく覚え、使えるようにしましょう。 >分数関数は恒等式と言えるのですか？ お書きの等式は分数関数とは言いません。等号で結ばれた式ですから、「分数関数の等式」あるいは「分数式の方程式」などというべきでしょう。なお、方程式は変数を含む等式のことです。 お書きの式は定数a,bを適当に選べば、恒等式になりえます。 その場合の分数式の恒等式では、分母=0とする変数の値を除いたすべての変数について、すなわち、分数式の定義域において成り立てばよいのです。 >（問）次の恒等式を満たすa、bを求めよ >５／{(x－2)(x＋3)} = a／(x－2）＋b／(x＋3) がxについての恒等式であるなら、両辺に(x－2)(x＋3)を掛けた 5=a(x+3)+b(x-2) つまり 5=(a+b)x+(3a-2b) もxについての恒等式となります。 恒等式であるからxの各次の係数は等しい。 a+b=0, 3a-2b=5 このa,bの式を連立させて解けば a=1, b=-1 a=1,b=-1と定めれば、 与式の右辺=1/(x-2) -1/(x+3)={(x+3)-(x-2)}/{(x-2)(x+3)}=5/{(x-2)(x+3)}=左辺 となるので、与えられた分数式の等式は（分数式の定義域で成り立つ）恒等式となる ことが判ります。
お礼
お答え下さり、どうもありがとうございます。 「分数式の定義域において、両辺の等式が成り立つので、恒等式である」 ということでしたが、恒等式の正しい定義は、「『すべての数』について両辺の等式が成り立つ」ことではなく、「『定義域』において両辺の等式が成り立ものが、恒等式」という理解でよろしいでしょうか？
- atkh404185
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【 恒等式 】 含まれている文字がどのような値をとっても、 その 《 両辺の値が存在する 》 限り、 両辺の値が等しいような等式を、 その文字についての恒等式 といいます。 なので、 ｘ＝２ や ｘ＝－３ の場合、 右辺 および 左辺 は値が存在しないので、 ｘ＝２ や ｘ＝－３ を除外して考えることになります。
お礼
お答えくださり、どうもありがとうございます。 １つ確認なのですが、５／{(x－2)(x＋3)} = a／(x－2）＋b／(x＋3)の式は、ｘ＝２ や ｘ＝－３ の場合を除外しているので、すべての数では、左辺＝右辺が成立しません。その結果、「恒等式ではない」という理解でよろしいでしょうか？
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