数学 部分分数分解

質問

部分分数分解
3x+2/x(x+1)^2
を部分分数分解せよ。
という問題
解答は
3x+2/x(x+1)^2=(A/x) + (B/x+1) + 〔C/(x+1)^2〕
とおいて、xの恒等式として解くと書いてあり、注意書きのところに
右辺を (A/x) + 〔B/(x+1)^2〕 としてはダメ
とあるのですが、いまいち理由がわかりません。
〔B/(x+1)^2〕について、分母が二次式だから分子をBx+Cにしたら大丈夫なんですか？

また、解答の (A/x) + (B/x+1) + 〔C/(x+1)^2〕 のように、なぜそれぞれ分けて三つも書かないといけないのかがわかりません。

また、もし　3x+2/x(x+1)^2 ではなく、3x+2/x(x+1)^4 だとしたら
(A/x) + (B/x+1) + 〔C/(x+1)^2〕 + 〔D/(x+1)^3〕 + 〔E/(x+1)^4〕 となるんですか？
また　3x+2/x(x+1)(x+2)(x+3) のような感じだったらどうなるのか・・・
上の問題に限らず、分母をどのように分けて恒等式を作ったらいいのかがわかりません。
部分分数分解の分母の分け方の考え方を教えてください。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>〔B/(x+1)^2〕について、分母が二次式だから分子をBx+Cにしたら大丈夫なんですか？

大丈夫です。ただし、目的に合わないことがあります。

たとえば、部分分数展開は不定積分の前処理としても使用されますが、
分母がべきの部分は B/(x+1)^2 + C/(x+1) の形式に分解しないと不便です。

ラプラス逆変換の前処理としても部分分数展開が使われますが、
やはり 分母がべきの部分は B/(x+1)^2 + C/(x+1) 形式でないと困ります。

>もし　3x+2/x(x+1)^2 ではなく、3x+2/x(x+1)^4 だとしたら
>(A/x) + (B/x+1) + 〔C/(x+1)^2〕 + 〔D/(x+1)^3〕 + 〔E/(x+1)^4〕 となるんですか？

そうなります。規則的で覚えやすいですよね。

この形式になることの厳密で一般的な証明は WikiPedia などを見てください。

お礼

皆様回答ありがとうございました。

回答No.2

info22_

A#1の回答と重複する部分は除いて回答します。

>また　(3x+2)/{x(x+1)(x+2)(x+3)} のような感じだったらどうなるのか・・・

(3x+2)/{x(x+1)(x+2)(x+3)}=(A/x)+{B/(x+1)}+{C/(x+2)}+{D/(x+3)}

とすれば良いでしょう。

>上の問題に限らず、分母をどのように分けて恒等式を作ったらいいのかがわかりません。
>部分分数分解の分母の分け方の考え方を教えてください。

分母を因数分解したとき、
全ての1次の因数(x+a_i)に対しては　A_i/(x+a_i)　を作る。
つまり
　Σ[i=1,m] A_i/(x-a_i)

k次(k≧2)の因数 (x-b)^k に対しては Σ[j=1,k] A_j/(x+b)^j を作る。
２次以上の因数が複数あっても同様に　Σ[j=1,h] A_j/(x+c)^j などと作ればよい。

以上の作った項の総和として分ければいいことになります。

例
(x^2+3x-4)/{x(x+1)(x-1)^3*(x+2)^4}
=(A/x)+(B/(x+1))+(C_1/(x-1))+(C_2/(x+1)^2)+(C_3/(x-1)^3)
+(D_1/(x+2))+(D_2/(x+2)^2)+(D_3/(x+2)^3)+(D_4/(x+2)^4)
と分解してやれば良いです。