2x-3/(x+1)(xの2乗+1) を部分分数に分けよ。

質問

2x-3/(x+1)(xの2乗+1) を部分分数に分けよ。

という問題なのですが、

(x+1)と(xの2乗+1)をそれぞれ分母として、分子をa,bとおきます。これで恒等式としてを解くと出来ません。

そこで(xの2乗+1)の分子をbx+cとおけばいいらしいのですが、なぜ前者では出来ないか教えてください。

お願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

多項式同士の割り算では, 余りは除数より低次の多項式です. だから, 分子は「分母より次数が低い任意の多項式」を表せるようにしなければならない.

回答No.1

info22_

最初に部分分数展開は次の通り。

(2x-3)/{(x+1)((x^2)+1)}
=-(5/2){1/(x+1)}+(1/2){(5x-1)/((x^2)+1)]

回答）
> これで恒等式としてを解くと出来ません。
> なぜ前者では出来ないか教えてください。
分母を払っても恒等式ですから、分母を払った式が恒等式なら
左辺のxの各次の項（ゼロでない項）が、右辺に必ず現れるような、部分分数展開の分数式を与えないと、恒等式にならないからです。
恒等式でないと言うことは、すなわち、「部分分数の分子の置き方が間違っている」ということです。
たくさん問題を解いて、経験を積めば、どういう置き方をすれば、恒等式となるか、分かってくるはずです。ただ、今は、問題を解く経験がすくないため、おき方がおかしいことにすぐ気が付かないだけです。

「なぜ前者でできないか」→「置き方が間違っている」からでしょう！

なお、式の書き方も他人に通じる書き方を早く覚えて下さい。
×「2x-3/(x+1)(xの2乗+1) 」
○「(2x-3)/{(x+1)((x^2)+1)}」