高校数学の部分分数分解についての質問です。

質問

1/x^2(x+1) = a/x^2 + b/(x+1) + c/x ・・・・・・ (1)
　両辺を x^2(x+1) で払うと
1 = a(x+1) + bx^2 + cx(x+1)
　x = 0 のとき a = 1、x = -1 のとき b = 1 なので
1 = (x+1) + x^2 + cx(x+1)
　x = 1 のとき 1 = 2 + 1 + 2c なので c = -1.
　検算してみると確かに
1/x^2(x+1) = 1/x^2 + 1/x+1 - 1/x
となるのですが、これを導くのになぜ(1)のような形を前提としておくのでしょうか？
　a/x^2、b/(x+1) に加え c/x をおく理由がわかりにくいのです。というのも(1)の左辺の分母は分母は x^2 と (x+1) かけたものなのですから
1/x^2(x+1) = a/x^2 + b/(x+1)
でもよさそうなものですが、(1)と同じように計算しても
　　1 = a(x+1) + bx^2 ・・・・・・ (2)
　　x = -1 →　b = 1.
　　x =　0 →　a = 1.
　　1/x^2 + 1/(x+1) = (x+1+x^2)/x^2(x+1)　
となり全然ダメなことは確認できます。しかしなぜこれではダメなのかと問われるとうまく説明できません。

　たとえば(1)を少し変形した
　　1/(x-1)^2(x+1) =　a/(x-1)^2 +　b/(x+1) + c/(x-1)
を(1)と同様に計算してみると
　　a = 1/2,　b = 1/4,　 c = -1/4
と正しく部分分数分解されます。他にも三次式の分母の部分分数分解をいくつか試みた結果から推察するとどうやら x の三次式の分母が一次式で因数分解できるときは
　　1/(x+α)(x+β)(x+γ) = a/(x+α) + b/(x+β) + c/(x+γ)
とおける。
　三次式の分母 = 0 が重解を持つときは
　　1/(x+α)^2(x+β) = a/(x+α)^2 + b/(x+α) + c/(x+β)
とおける。
ような気がするですが、そうしていい理由がいまいちしっくりきません。
http://mathtrain.jp/bubun
をみたら(1)のような分解は証明なしに利用していいとあります。きちんと証明するには高校レベル以上の数学が必要なのでしょうか？
　とりあえずは(2)がダメな理由がはっきりわかるだけでもありがたいのです。

回答No.1

noname#201361 · ベストアンサー

大学で複素関数論を勉強すると、有理関数のところで「高校の時にならった部分分数の仕組みはこういうことだったのか！」を始めとしていくつかの衝撃的な出会いがあります。

ご質問の部分分数分解については、極をもたない有理関数は定数しか無いという性質を使うのですが、私自身はそれをみて感動した経験があり、あなたから将来の感動を奪いたくないのでここで中途半端な説明をするのを控えたいと思います。

AhlforsのCOMPLEX ANALYSISというタイトルの本（邦訳あります）にきれいな証明が載っています。
http://www.amazon.co.jp/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E8%A7%A3%E6%9E%90-L-V-%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%82%B9/dp/4768701183

お礼

なるほど。思ったよりやっかいなことなのですね。でも少しワクワクしています。完全な理解は大学入学後の楽しみにしておきます。

回答No.2

f272

1/x^2(x+1) = a/x^2 + b/(x+1)
これの左辺から右辺第1項を引くと(a=1に注意して)
1/(x^2(x+1)) - a/x^2 = (1-(x+1))/(x^2(x+1)) = (-x)/(x^2(x+1)) = (-1)/(x(x+1))
となるけど，(-1)/(x(x+1))とb/(x+1)が恒等的に成り立つことはないよね。

もうすこし一般的に言えば
f(x)/((x-a)^p*g(x)) - (f(a)/g(a))*(1/(x-a)^p)
=(f(x)-(f(a)/g(a))g(x))*(1/((x-a)^p*g(x)))
だけれどこの分子は
f(x)-(f(a)/g(a))g(x)
であってx=aを代入すると=0になるのでx-aで割り切れる。だから分母は(x-a)^(p-1)*g(x)までには(x-a)の次数を減らすことはできるけど，(p-2)乗にはできないよね。

お礼

具体的な例でとてもわかりやすいでした。そうか、引き算で考えればいいのですね。教えられた式を時間をかけて考えるつもりです。