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裏技数学、部分分数分解
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もし与えられた式を満たす実数A,B,C,Dが存在する,とすると, 与式の両辺に (x-2)(x-1)(x+1)(x+2) をかけて, 1 = A(x-1)(x+1)(x+2) + B(x-2)(x+1)(x+2) + C(x-2)(x-1)(x+2) + D(x-2)(x-1)(x+1) ここで,両辺に x = 2 を代入すると,1 = A*1*3*4 となるから,A = 1/12 x = 1 を代入すると,1 = B*(-1)*2*3 となるから,B = -1/6 x = -1 を代入すると,1 = C*(-3)*(-2)*1 となるから,C = 1/6 x = -2 を代入すると,1 = D*(-4)*(-3)*(-1) となるから,D = -1/12 となっていないといけません. ・・・(1) つまり,A=1/12, B=-1/6, C=1/6, D=-1/12 (答) なお,この解き方では正しくは, 最後にA,B,C,D の値が出てきたところ(1)で, これらの値を元の与式に代入して,与式が実際に成り立っていることを確かめる必要が, 本当はあります. しかし,これらの値は「題意より,存在するのに決まっています」から, 今は「存在するとしたら,この値以外ではあり得ない」という状況なので, 実際には検算の必要はありません. 蛇足ながら,この問題の解法が「ある本に60秒で解ける」とあったとのことですが, その「解法」もその本に載っていたのでしょうか? 載っていたとしたら,どんな「解法」だったのでしょうか?
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- kkkk2222
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ーーー P=1/(x-2)(x-1)(x+1)(x+2) Q=A/(x-2)+B/(x-1)+C/(x+1)+D/(x+2) ある程度は経験的な感覚、またある程度のABCDの対称性、また実践でも多用されるので、裏と言うほどではないですが。また時間も60秒はかかるとは思います。 R/k=【[1/(x-2)]-[1/(x+2)]】-【[1/(x-1)]-[1/(x+1)]】 =【4/(x-2)(x+2)】-【2/(x-1)(x+1)】 これではダメなので R/k=【[1/(x-2)]-[1/(x+2)]】-【[2/(x-1)]-[2/(x+1)]】に変更 =【4/(x-2)(x+2)】-4【1/(x-1)(x+1)】 =12/(x-2)(x+2)(x-1)(x+1) k=1/12と判明 R=【[(1/12)/(x-2)]+[-(1/12)/(x+2)]】+【[-(1/6)/(x-1)]+[[(1/6)/(x+1)]】 =[(1/12)/(x-2)]+[-(1/6)/(x-1)]+[(1/6)/(x+1)]+[-(1/12)/(x+2)] ーーーーーーーーーー
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