部分分数の和に分解

質問

現在、部分分数分解で問題が解けなくて困っています。

問：　x^3-3x+3/f(x) を部分分数の和に分解せよ

まずf(x)=x*g(x)とおき
与式をx^3-3x+3/x*g(x)と変形し
A/x+(bx^2+cx+d)/g(x)と分解します。
ですがこの後どうやっていけばいいのかがわかりません。
なんか部分分数の基本的なところから理解が足りてない気がします。

どなたかご指導のほどよろしくお願いします。

回答No.5

tbg

私も同じ問題で悩んでいます。このf(x)はx^4-2x^3+3x^2-2x+1
となるのですが、x^4-2x^3+3x^2-2x+1=0はどのようにして
解くのですか。どなたかご指導よろしくお願いします。

回答No.4

noname#101087

#3 です。
前回は単純すぎました。和分解した項の両方の分母に g(x) があるのはいただけません。反省。
　(x^3-3x+3)/[x*g(x)] = A/x + [k(x)/g(x)]　　　…(1)
とすべきです。g(x) が x で割り切れない場合なら A などを確定できます。

式(1) の両辺にx を掛けて x=0 とすれば、
　3/g(0) = A　　　…(2)
このあと、A/x を両辺から差し引いて k(x) を勘定する。
　(x^3-3x+3)/[x*g(x)] - A/x = [x^3-3x+3-A*g(x)]/[x*g(x)]　　　…(3)
A*g(x) の定数項、つまり A*g(0) は 3 。 <<式(2)から>>
　A*g(x) - 3 = x*h(x)
となり、式(3) の右辺分子は、
　x^3-3x + x*h(x) = x*[x^2 - 3 + h(x)] = x*k(x)
　　ただし、k(x) = x^2 - 3 + h(x)　　　…(4)
と書ける。
式(3), (4) の A, k(x) を 式(1) へ入れて、このステップは終了。

回答No.3

noname#101087

>x^3-3x+3/f(x) を部分分数の和に分解せよ
>まずf(x)=x*g(x)とおき 与式をx^3-3x+3/x*g(x)と変形し A/x+(bx^2+cx+d)/g(x)と分解します。

単純に、
(x^3-3x+3)/x*g(x)
=[(x^2-3)/g(x)] + [3/x*g(x)]

g(x)が判らないと、ここが行き止まりと見られます。

回答No.2

Mr_Holland

g(x)は恐らく3次以下のｘの多項式になっていると思うのですが、具体的な式は分かりませんか？

　解き方の基本としては、a/x+(bx^2+cx+d)/g(x)をx*g(x)で通分した分子のｘの多項式の係数をx^3-3x+3と見比べて、恒等式の関係から、両辺の係数が同じになるようにａ、b、c、ｄを導くことです。
　　a/x+(bx^2+cx+d)/g(x)
　＝{ag(x)+bx^3+cx^2+dx}/{xg(x)}≡(x^3-3x+3)/{xg(x)}

　∴ag(x)+bx^3+cx^2+dx≡x^3-3x+3

　ここで、g(x)=ex^3+fx^2+gx+hとすると、
　　a(ex^3+fx^2+gx+h)+bx^3+cx^2+dx≡x^3-3x+3
　∴(ae+b)x^3+(af+c)x^2+(ag+d)x+ah≡x^3-3x+3
となります。この式は恒等式なので各係数は等しいから、
　　ae+b=1, af+c=0, ag+d=-3, ah=3
となります。あとは、これらの式から、e,f,g,hは既知なので、a,b,c,dを求めれば、部分分数分解の係数が分かります。

回答No.1

rabbit_cat

えーと、これは、(x^3-3x+3)/f(x) てことですか？
とりあえず、f(x)の形がわからいんで何ともいえませんが、
一般論を言えば、f(x)を因数分解して、留数公式を使うんでしょうか。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/complex/node39.html

あるいは、留数定理を用いて、直接ローラン展開するか。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%83%B3%E7%B4%9A%E6%95%B0