絶対値の不等式の解き方

質問

f(x)=log_2(x^2-a^2)
について

真数条件より

x^2-a^2>0
⇔
x<-│a｜,｜a｜<x

とあったんですが、なぜaに絶対値がつくんでしょうか？(x+a)(x-a)>0をといてもダメですし、移項して両辺ルートつけると

x^2>a^2⇔｜x｜>｜a｜

となってこの後解けません。
多分後者を解くのが正解に至るのだと思いますが、絶対値の不等式ってどうやって解くんでしょうか？絶対値の等式は｜A｜=｜B｜⇔A=B or A=-B となるのは分かるんですが。
あと前者で誤答となる理由も教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.4

yaksa · ベストアンサー

ここででているやり方はみな正しいので、どちらで考えてもかまいません。

私自身は、＃３の
＞ i)a≧0の場合 -a≦a なので　x <-a, a< x
＞ ii)a＜0の場合 a＜-a なので x <a ,-a< x
＞ これらをまとめると x<-|a|,|a|<x
の、「これらをまとめる」という操作が、かなりややこしくて（まぎらわしくて）間違えやすい気がするので、何も考えずに機械的にできる＃２のやり方を勧めます。

基本的には、タイトルにある
「絶対値の入った不等式を解く」
のに必要なのは、＃２で書いた関係だけです。これだけ覚えれば十分です。

＃私の専門は高校数学ではないので、最近の高校の授業でどのように習うのかは知らないのですが。

お礼

結局絶対値不等式は両方に絶対値がつこうが＃２の関係は常に通用するんですね！これでとても楽になりました！ありがとうございます！！

回答No.3

hinebot

結論から言うと、#1さん[(x+a)(x-a)>0 から導く]でも#2さん[|x|>|a|から導く]でもどっちでもいいんです。
どちらも間違いではありません。
が、両辺に絶対値がつくのはスマートではないので、通常は#1さんのやり方を採用する方がよいです。

ちょっと丁寧にやってみます。

[(x+a)(x-a)>0から導く場合]
場合分けします。
i)a≧0の場合 -a≦a なので　x <-a, a< x
ii)a＜0の場合 a＜-a なので x <a ,-a< x
これらをまとめると x<-|a|,|a|<x

※|a|=b（≧0：当然ですが）とおけば
i)のとき、a=b なので x <-b, b<x
ii)のとき a=-b　なので x <-b, -(-b)<x
でいずれにせよ x <-b, b<x となり、まとめることができます。

[|x|>|a|から導く場合]
q≧0のとき
|p| > q　⇔ p<-q,q<p なので
p=x, q=|a|とおけば　x<-|a|,|a|<x

となるのですが、元々#2さんが示された
#α≧0のとき、
#(1) ｜x｜< α ⇔ -α < x < α
#(2) ｜x｜> α ⇔ x<-α, α<x
という関係は前者の２次不等式の方法から導かれるものであることも覚えておいてください。
（#1さんが、「x^2>a^2⇔|x|>|a|では無く」と書かれたのはこういう意味からだと思います）

お礼

そういう意味だったんですか！よく分かりました！
ありがとうございます！

回答No.2

yaksa

まあ、別にどうやってもいいんですが、
絶対値を含む不等式は基本的には、

α≧0のとき、
(1) ｜x｜< α ⇔ -α < x < α
(2) ｜x｜> α ⇔ x<-α, α<x

という、２つの公式を使って絶対値をはずします。

今回は、
｜x｜>｜a｜
に(2)を使っただけですね。

お礼

ありがとうございます。
ところでNo.1の方が｜x｜>｜a｜からではなく、とおっしゃられていますが、
｜x｜< α ⇔ -α < x < α,
｜x｜> α ⇔ x<-α, α<x
と解いてもやはり間違いはないでしょうか？
すみません。お二人の見解が若干違うので、これからの学習においてもどちらで考えてもいいかなどはっきりしておきたいので...

回答No.1

proto

aが負数の場合
x<-a,a<x
では
0≦x<-a,a<x≦0
となり、大小関係がおかしくなるからですよ
aが正負どちらでも成り立つように
x<-|a|,|a|<x
としています

あと
x^2>a^2⇔|x|>|a|
では無く
(x+a)(x-a)>0
から導かれます
y=(左辺)
と置いて、グラフを描けば分かり易いと思います

お礼

ありがとうございます。
ところで「x^2>a^2⇔|x|>|a|では無く」とおっしゃられましたが、No.2の方が
x^2>a^2⇔|x|>|a|
からxの絶対値をはずす方針で解かれています。これではどこかマズイのでしょうか？両方に絶対値がついてるならこの方針はとれないだとか...すみません。しっかりした知識を持っていたいので、よろしければご解答お願いいたします。