絶対不等式の解き方

質問

a についての絶対不等式　(x-a)^2+y^2>(a+1)^2/4
が成り立つ条件の求め方がわかりません。

回答No.1

Rice-Etude · ベストアンサー

不等式（大小関係あり）なんで実数範囲で考えるとして、これって成り立つものはないんじゃないですかね？

式をよく見ると、原点からx軸にaだけ移動した半径|a+1|/2の円を境にした領域を示しています。不等号の向きからこの円に対し『境を含まずに』外側が領域になことを示しています。

まず半径が0より大であれば、必ず円の中の座標はこの不等式を満たさなくなりますので、a≠-1であるaは全部成り立ちません。
また、a＝-1の時もx=1、y=0を代入すると不等式の左辺は0、右辺も0で不等号が成り立ちません。
したがって、どのaにおいてもこの式は絶対不等式としては成立しないとなります。

＃もし不等号が「＞」でなく「≧」であれば、a=-1が該当します。

回答No.2

Tacosan

これが 2次不等式であることは認識できますか?

補足

回答ありがとうございます。

２次不等式であることは認識しています。円を表しているから…

元々の問題文は、コレです。

X(a)={(x,y)|(x-a)^2+y^2≦(a+1)^2/4}
について、いかなる実数aに対してもX(a)に含まれない点Pの集合を求め、xy平面上に図示せよ。

「含まれない」なので、(x-a)^2+y^2>(a+1)^2/4を考えればいいかなと思ったんですが…
わかっている解答では、他の解き方をしていて、別解としてこの考え方もできると補足されていますが、解き方は示されていません。

ちなみに答えは、{(x,y)|(x+√3y+1)(x-√3y+1)<0}です。