不等式の問題です。

質問

「(m+1)x^2-(m-3)x+m+1<0が、すべての実数xに対して成り立つように実数mの値の範囲を求めよ。」

…とまあ、こんな問題があるんですが、これを解く上で必要な条件を詳しく教えてください。
また、判別式Dを使うような解き方はナシにしてください。不等式に判別式は使えませんから…。最大値、最小値を使った解き方で解いてください。
ちなみに答えは「m<-5」です。

回答No.1

Ryo-o · ベストアンサー

まず、m+1が0かそれ以外かで１次式か２次式かに分かれるので場合分けします。
1)m+1=0　の場合
整理すると
4x < 0
成り立たないのでm≠-1

2)m+1≠0 の場合
y=(m+1)x^2-(m-3)x+m+1 …(1)　として
(1)式は２次関数ですね。
(1)式を標準形になおすと頂点のの座標が
( (m-3)/2(m+1) , (m+1)- ((m-3)^2)/4(m+1) )
となりますね。ここで(1)式のグラフを書いてみてください。
すべての実数ｘで (与式)<0 になるには y<0 つまり(1)のグラフがx軸の下にあればいいわけです。ということは(1)のグラフが上に凸で、頂点がx軸の下にあればいいわけです。
よって
m+1<0 …(2)
かつ
(m-3)^2)/4(m+1) < 0　…(3)
です。
(3)を今のと同様にグラフを利用して解くと m<-5またはm>1/3になりますね。(2)よりm<-1 ですので答えは m<-5 となるわけです。

これでどうでしょう？

お礼

お礼が遅れましたが、ご返答ありがとうございます。
どうやらジャンルを選ぶ時に数学のトピックを選んだと思ったが、物理のトピックを間違って選んでしまったようです(汗)
いろいろ「間違っているよ」みたいな返答が寄せられていてやっと気付きました。
非常に役に立ちました。

回答No.2

Ryo-o

一点補足
(3)式を解く過程についてですが”今のと同様にグラフを利用して…”ではなく、＝０と置いて２次方程式を解き、グラフを書いて…でした。一般的な２次不等式の解き方ですね＾＾；