不等式の定数分離

質問

こんばんは。

すべての正の実数xに対して、不等式
√(x)+2≦k√(x+1)

が成り立つような実数kの最小値を求めよ。

という問題なのですが、教科書などにも載っている通り、普通は定数kをどちらかの辺に分離し、y=kとの交点を求めることで考えます。
では、もし分離しないで計算しようとした場合、どうすればいいのでしょうか？？

僕の考えでは、
（1）f(x)=k√(x+1)-√(x)-2とおく。
（2）f`'(x)を求め、最大、あるいは最小をとる値を探す。
（3）そのときの値をf(x)に代入し、それが0以上となるようなkを求める。

だと思ったのですが、いざやってみるとうまくできません。。。
まぁうまくいかないから定数分離という方法があるのだと思いますが、気になってしまったのでどなたか教えていただけないでしょうか。ちなみに答えはk=√５です。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

kを分離しないと、最小 or 最大を与える xの値にも kが含まれてしまいますよね。
なんかごちゃごちゃになってしまいますよね。
ただ、いまの問題はその方法でも導き出せますよ。

f '(x)＝ 0から xが満たすべき式は k√x- √(x+1)＝ 0となりますね。
これから x＝ 1/√(k^2-1)≡ Pとおく。と求まります。
ただし、もとの不等式から k≧ 2であることは自明であることを示しておく必要があります。
（k＝±1にはならない保証）

そして、x＝ Pで最小値をとります。
最小値：f(P)≧ 0となる kを求めます。
k^2-1≡Kとでも一度おけば、K≦ 0, 4≦ Kとなり、最終的に k≧ √5とはなります。

ただ、この解まで持ってくる間に、
いくつか不等式を扱うので、両辺が正であることなどを常に示していかなければなりません。
きちんとそのあたりが論証できればいいですが、綱渡りのような解答になってしまうかと。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、とてもよくわかりました！最小値をとるxの値にもkが入ってしまうのでそのようなややこしいことになってしまうのですね！
スッキリしました!(^^)!