微分IIIの問題です

質問

(1)kを実定数とする。実数x,yがx＋2y=kをみたすとき、x^2＋2y^2の最小値を求めよ。
(2)2変数関数f(x,y)=(x＋2y＋3)/(x^2＋2y^2＋3)の最大値を求めよ。

(2)f(x)の最大値を求めるから、x＋2y＋3＞0のみを考えればよい。

と始めの解答部分に書いてあるのですが、なぜこうなるのかがわかりません。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#75273 · ベストアンサー

(1) は平方完成から、k^2 / 3 です。
問題の(2) ですが、
まず、A / B の 「B が最小」をとれば、「A / B は最大値」になる感覚がつかめるでしょうか。

(1) の結果を使えば、
f(x , y) = k + 3 / ( k^2 / 3 ) + 3
　　= 3k + 9 / k^2 + 9

あらためて、y = 3x + 9 / x^2 + 9 とおいて、
y ' = ・・・→　増減表つくって、y ' = 0 のとき x をもとめると、
y の極大値をもとめると、k = - 3 + 3 √2 です。
k 実定数ですが、y = 3x + 9 / x^2 + 9 のグラフの概形がわかれば、
最大値は、k = - 3 + 3 √2 のときであるのは明らかです。
よって、f(x , y) の最小値は、√2 + 1 / 2

お礼

御返事遅れてしまって申し訳ありません。

よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.3

take_5

＞これは、なかなか巧妙な考え方だが、

答えが分ってるから、こんな解法を考えるんだろう。
従って、慣れない者には理解が難しい解法になっているだろう。

別解を示しておく。

(x＋2y＋3)/(x^2＋2y^2＋3)＝1/kとして、分母を払うと、（x-k/2）＾2＋2（y-k/2）＾2＝3（k＾2＋4k-4）/4.
これは楕円の形になるが、それにしても、（k＾2＋4k-4）≧0.‥‥(1)
Ｐ＝1/kであるから(1)に代入すると、（1‐√2）/2≦Ｐ≦（1＋√2）/2。

お礼

御返事遅れてしまって申し訳ありません。

よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.1

take_5

＞なぜこうなるのかがわかりません

Ｐ＝(x＋2y＋3)/(x^2＋2y^2＋3)と、しよう。

分母＝x^2＋2y^2＋3≧3より、分子のx＋2y＋3は正の時も負の時もあるから、従って、Ｐの最大値は正、最小値は負となる。
よって、最大値を考えるのだから、x＋2y＋3＞0のみを考えればよい、という事になる。

これは、なかなか巧妙な考え方だが、判別式だけでも回答可能。

分母を払って、Ｐ≠0の時は、xの2次方程式。従って、判別式≧0.
yの2次方程式になるが、やはり判別式≧0.
結果は、（1‐√2）/2≦Ｐ≦（1＋√2）/2。