大学 微分の問題

質問

実数上でf(x)は連続
任意の実数x,yに対して、
f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))を満たせば
f(x)=cx^2(cは定数)を示せ。

この問題を教えてください！
よろしくお願いします。

回答No.3

think2nd · ベストアンサー

高校レベルで解けますが、帰納法を2回ほど使い、時間がかかります。
基礎知識として"無理数は収束する有理数列で表せる"ことでしょうか。
　方針は　3つのステップでときましょう。
　f(x+y)=2[f(x)+f(y)]-f(x-y)…(1)とおいて
　1ステップ　x=n(nは自然数)のとき　f(n)=cn^2であることをいう。
　2ステップ　x=r(rは有理数)のとき　f(r)=cr^2であることをいう。
　3ステップ　すべての実数について　f(x)=cx^2であることをいう。
　まず　(1)にx=y=0を代入すると　f(0)=0であることがわかる。
　次にx=0とおくと(1)はf(y)=f(-y)となるからこの関数のグラフはy軸に線対称であることがわかる。
　だからx≧0について証明すれば十分である。
1ステップ　
　　x=y=1のとき(1)に代入して整理すると　f(2)=4f(1)
　　f(1)=c遠く。(cは0でも構わない。)　f(2)=4c
　f(3)は(1)より　f(3)=f(2+1)=2[f(2)+f(1)]-f(2-1)=9c
　だからx=n　(nは自然数。)のとき、f(n)=cn^2となる。(帰納法で証明してください。)
2ステップ
　　x=1/p　(pは任意の自然数。)とおくと
　(1)よりf(2/p)=f(1/p+1/p)=2[2f(1/p)]=4f(1/p)
　だからpを固定して、すべてのq=1,2,3,…に対して
　　　　　x=q/pのときf(q/p)=q^2f(1/p)…(2)であることが数学的帰納法を利用して言える。
　　　　　　(qについて帰納法を使います。やっていないのでトライしてください。)
　　さて　f(1)=cを使って
　　　　　f(1)=f(p/p)=p^2f(1/p)=cだから
　　　　　　　f(1/p)=c/(p^2)
　　(2)に代入するとf(q/p)=c(q/p)^2
　すなわちx=q/pのときf(x)=cx^2　となる。(p,qは既約でなくても構わない。)
3ステップ
　　xを無理数とする。
　　すると　lim[n→∞]r[n]=xとなる、有理数r[n]が存在するしかもf(x)は連続関数だから
　　　lim[n→∞]f(r[n])=f(x)
　　　lim[n→∞]cr^2[n]=f(x)
　　　　　　　∴　cx^2=f(x)
　以上よりすべてのxについてf(x)=cx^2　
どうでしょうか、時間の割に成功経験は浅くなります。もっといい方法があると思います。

回答No.2

alice_44

f に連続性しか仮定されていないので、
すぐに微分することはできないでしょう。
連続性と与えられた等式から
微分可能性を証明してからやる方法は
あるかもしれませんが。

それより、貴方の以前の質問の類題と
考えてはどうでしょう。
与式に y = x を代入すると、
任意の x について f(2x) + f(0) = 4f(x).
更に x = 0 を代入すると、f(0) = 0 です。
任意の x について f(2x) = 4f(x) となります。
これを f(2x)/(2x)^2 = f(x)/x^2 と見ると、
任意の x について
f(x)/x^2 = f(x/2)/(x/2)^2 = f(x/4)/(x/4)^2 = … = lim[x→0]f(x)/x^2
となって、c = lim[x→0]f(x)/x^2 と置けば、
f(x) = cx^2 です。

回答No.1

oignies

微分の問題だということまでわかっているのであれば

与えられた式を微分すればいいだけではないでしょう
か。

教科書とかにも例題として乗っているような問題では
ないですか

補足

教科書の章末問題の発展問題
だったので
身構えていただけかもしれません。
「与式を微分するだけでいい」の
おっしゃっている意味が
分からないので
説明していただけますか？