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微分の問題

連続な導関数を持つ関数f(x)が、全ての実数x、yについて f(x+y)=f(x)+f(y)+xyが成り立っている。この時、f(0)を求めよ。 この問題で解説には全ての実数についてOKだから、適当に好きな数字を代入すればいいと書いてあって、作者はx=y=0を代入してf(0)=0としています。私はx=1、y=-1を代入して計算しようと試み ましたが、f(0)=f(1)+f(-1)-1となってこれ以上計算が出来ませんでした。どなたか詳しい解説解答をお願いします。

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y=0とすれば、おわり。 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy → f(x)=f(x)+f(0)+0 → f(0)=0 

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  • 回答No.5

解説に「適当に好きな数字を代入してよい」と書いてあるのは、 適当に好きな数字を代入しても式は成り立っている という意味であって、 適当に好きな数字を代入すれば問題の答が得られる という意味ではない。 貴方の代入 x=1, y=-1 を行うと、確かに f(0) = f(1) + f(-1) - 1 が成立して、これは正しい式なのだが、 y = 0 を代入した場合ほど役に立つ式ではない というだけだ。 常識的には、No.4 のように解くことになろう。 問題に f の微分可能性が仮定されているので、ヘンな解法を… f(x+y) = f(x) + f(y) +xy を y で微分したあと、y = 0 を代入すると f ' (x) = f ' (0) + x となって、これを積分すると、 f(x) = (1/2)x^2 + Ax + B (ただし A,B は定数) と解る。 これを最初の式に代入して、x,y について恒等式になるように 係数比較すると、B = 0 が出てくる。

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  • 回答No.3
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

私もなんでわざわざその値を選んだのかを聞きたい. そも, 解説にも本当に「適当に好きな数字を代入すればいい」って書いてあるんだろうか? 「連立方程式」までいかずとも, f(2) を f(1) の右辺に代入すれば終わりですな>#1.

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  • 回答No.2
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

f(0)を求めるだけの問題に f(1)やf(-1)が出るようなx,yを与えても意味ないのでは?

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  • 回答No.1
  • proto
  • ベストアンサー率47% (366/775)

多分、   「適当な数字」=「好きな数字」 ではなく   「適当な数字」=「適切な数字」 という意味かと。 数学の解説中に「適当な」という言葉が出てきたときには、「適切な」とか「問題が解けるような」とかの言葉に置き換えて読んでみてください。 問題が解けるように適当なx,yを選んで代入します。 例えばx=A,y=0を代入すれば   f(A+0) = f(A)+f(0)+A*0   f(A) = f(A)+f(0)   f(0) = 0 がわかります。 x=1,y=-1というのは、今回の場合、あまり適当でない気がします。 ですが無理矢理、   f(2) = f(1)+f(1)+1   f(-2) = f(-1)+f(-1)+1   f(1) = f(2)+f(-1)-2   f(-1) = f(1)+f(-2)-2 という連立方程式を解いてf(1),f(-1)を求め、質問者さんの式に代入することでも求められるかも知れません。

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