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微分について

すべての実数xについて関数f(x)が |f'(x)|< 1/2 を満たすとき、任意の実数x、y (x≠y)で |(f(x)-f(y))/(x-y)|< 1/2 が成立する これの証明がわかりません。微分の定義で証明しようとしましたけれどわかりませんでした。証明を教えてください。あと、右辺は正数ならすべてにおいて成立しますか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.4

平均値の定理を使うなら対偶を証明する. 微分積分学の基本定理を使っていいなら -1/2 < f'(x) < 1/2 を定積分すれば終わり.

その他の回答 (4)

noname#108210
noname#108210
回答No.5

対偶命題なら ある実数x1,y1で |(f(x1)-f(y1))/(x1-y1)|≧ 1/2とすると, 平均値の定理から x1<x<y1を満たす実数xが存在して |(f(x1)-f(y1))/(x1-y1)|=|f'(x)| したがって,ある実数xで |(f(x1)-f(y1))/(x1-y1)|≧ 1/2 >あと、右辺は正数ならすべてにおいて成立しますか? 証明から分かるように,成立します。

  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.3

狭義の単調減少関数の性質を使っていいなら、背理法で。 あるx0,y0(x0>y0)で、(f(x0)-f(y0))/(x0-y0)≧ 1/2 とする。 ((f(x0)-f(y0))/(x0-y0)≦ -1/2 の場合も同様に証明可能なので、1/2以上に限定する) g(x)=(f(x0)-f(y0))/(x0-y0) * (x-y0) + f(y0) とし、(点(x0,f(x0))と(y0,f(y0))を結ぶ直線) h(x)=f(x)-g(x) とすると、 h'(x)=f'(x)-(f(x0)-f(y0))/(x0-y0)<0 なので、h(x)は狭義の単調減少関数。 これは、h(x0)=h(y0)=0 と矛盾する。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

平均値の定理とか微分積分学の基本定理とかは使っていいですか?

dxcghg
質問者

補足

かまいません

  • proto
  • ベストアンサー率47% (366/775)
回答No.1

成り立たないように思う。   f(x) = arctan(4x)/π とすると、全てのxについて   -1/2 < f(x) < 1/2 だから|f(x)|<1/2を満たす。 しかし、x=1/4,y=0の時を考えると   (f(1/4)-f(0))/(1/4-0) = (1/4-0)/(1/4-0) = 1 > 1/2 となる。

dxcghg
質問者

補足

パソコンの画面では見えにくいですけど、 |f ' (x)| < 1/2 ならば です

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