偏微分

質問

偏微分の問題です。
f(x,y)をR^2上のC^1級関数とします。また、nを非負整数とし、f(tx,ty)=(t^n)f(x,y)が任意の実数tに対して成り立つとき、x∂f/∂x+y∂f/∂y=nfとなることをしめしたいです。
微分連鎖律より、
　∂f(tx,ty)/∂t=(∂f(tx,ty)/∂x)(∂x/∂t)+(∂f(tx,ty)/∂y)(∂y/∂t)
　　　　　　　　　 =x(∂f(tx,ty)/∂x)+y(∂f(tx,ty)/∂y)
ここで、f(tx,ty)=(t^n)f(x,y)より
　（左辺）=n(t^(n-1))f(x,y)
　（右辺)=(t^n){x(∂f(x,y)/∂x)+y(∂f(x,y)/∂y)}
となり、最終的に、
　(t^n){x(∂f(x,y)/∂x)+y(∂f(x,y)/∂y)}=n(t^(n-1))f(x,y)
となり、t^n≠0より、
　x∂f(x,y)/∂x+y∂f(x,y)/∂y=n(t^(-1))f(x,y)
という形まではいけたのですが、ここからがわかりません。やりかたがおかしいのでしょうか？どなたかご教授ください。よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia

盛大に混乱していますね。
混乱が何処から生じたのか、考えてみましょう。

偏微分の記号は、字面に全ての情報が書き込まれておらず、
文脈から意味を補わなければならない部分があります。

例えば、
f = f(u,v),　u = tx,　v = ty の ∂f/∂u を計算するときに、
v を固定して偏微分するのと、x, y を固定して偏微分するのと
では、値が異なります。
合成関数の微分より、(∂/∂u)[x,yを固定] f =
= { (∂/∂u)[vを固定] f }{ (∂/∂u)[x,yを固定] u } + { (∂/∂v)[uを固定] f }{ (∂/∂u)[x,yを固定] v }
= { (∂/∂u)[vを固定] f }・1 + { (∂/∂v)[uを固定] f }・(y/x)
です。

∂f(tx,ty)/∂x と書いてあれば、字面に見える t, y を固定して微分、
∂f(u,v)/∂u と書いてあれば、字面に見える v を固定して微分する
という暗黙のルールがありますが、
∂f/∂x とか、∂f(tx,ty)/∂(tx) とか書いたのでは、
それを適用することすら難しくなります。

この問題の場合、w = f(u,v),　u = tx,　v = ty とでも置いて、
合成関数の微分を ∂w/∂t = (∂w/∂u)(∂u/∂t) + (∂w/∂v)(∂v/∂t) と書けば、
ややこしい部分に触れずに済ますことができますが、小手先の技で
難所を回避していては、偏微分を正しく理解することはできないでしょう。

とても大切なこと：
偏微分を含む式を読んだり書いたりするときは、個々の ∂/∂ ごとに、
何を固定したものだか把握しておく。

お礼

お返事ありがとうございます。この手の問題を見ると、機械的に微分してしまうので、一度きちんと見ていくようにします。アドバイスありがとうございます。

回答No.1

e_o_m

t=1としてしまえばそれでおしまいなのですが、若干途中計算が怪しいようですので、念のために説明しておきます。

∂f(tx,ty)/∂tの計算は、u=tx、v=tyと変数を置き換えておくと実際は
∂f(u,v)/∂t=(∂f(u,v)/∂u)(∂u/∂t)+(∂f(u,v)/∂v)(∂v/∂t)
　　　　 =x(∂f(u,v)/∂u)+y(∂f(u,v)/∂v)
となるので
＞x(∂f(tx,ty)/∂x)+y(∂f(tx,ty)/∂y)
ではなく、正しくは
x(∂f(tx,ty)/∂(tx))+y(∂f(tx,ty)/∂(ty))
となりますね。
n(t^(n-1))f(x,y)と等号で結んで、t=1と置けば、晴れて証明できます。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。大変わかりやすい説明かつ、途中の計算まで正していただき、助かりました。どうもありがとうございました。