- ベストアンサー
微分方程式の解法と間違いの原因
- 2009年京都大学(文系)の入試問題で出題された微分方程式について、解法と間違いの原因を解説します。
- 与えられた微分方程式を展開し、f(x)をn次式とおくと、最高次数の比較からn ≧ 1となります。しかし、これは本来n ≦ 1となるべきです。
- この問題では、模範解答では微分して解が求められましたが、別の解法として、f(x)を直接求める方法があります。
- みんなの回答 (13)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (12)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
- 1
- 2
関連するQ&A
- 2009年京大(文系)微分方程式 続き
先週も同じ質問をしたのですが、パソコンが使えなくなったので、しばらく返事できませんでした・・・。 まだ、解決できないない部分があるので、解説お願いします。 整式f(x)と実数Cが ∫[0,x]f(y)dy+∫[0,1](x+y)^2*f(y)dy=x^2+C を満たすとき、このf(x)とCを求めよ。 という問題です。解説していただいて、解決したところまでで、自分の解答を作ってみました。 ∫[0,1]f(y)dy+x^2*∫[0,1]f(y)dy+2x*∫[0,1]yf(y)dy+∫[0,1]y^2*f(y)dy =x^2+C f(x)をn次の整式とおくと、 (左辺の最高次数)≦ max(n+1 , 2) (右辺の最高次数)= 2 与式はxについての恒等式であるから、(左辺の最高次数)=(右辺の最高次数)より、 2 ≦ max(n+1 , 2) (i) n+1>2のとき max(n+1 , 2)=n+1>2 となり、(左辺の最高次数)が3次以上で(右辺の最高次数)の2次と一致しないから、不適。 (ii) n+1≦2のとき max(n+1 , 2)=2≦2 となって成立。 (i)(ii)より、n+1≦2 ・ ・ ・ と続くのですが、場合分けした(ii)の「2≦2」の部分が分かりません。(解説していただいたところです) これはどういう意味なのでしょうか。(何を表しているか分かりません。) 何度もすみませんが、解説お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2階微分方程式について(続けての質問ですいません)
y''=f(y)の一般解の求め方で 両辺に2*y'をかけて、xで積分すると (y')^2 = 2*∫f(y)dy + C_1 になると書いてあるのですが 右辺は求められたんですが左辺がどうしてそうなるのかがわかりません。 自分でやった計算では ∫(y'' * 2*y')dx =∫(y'' * 2*(dy/dx))dx =2*∫(y'')dy =2*y' となってしまいます。 なんとなく間違ってるとは思うのですが 正しい方法がわからないのでアドバイスお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 教えてください☆(微分方程式)
(x+y)y'=2の一般解を求めよという問題が分かりません。左辺にyを集めて右辺にxを集めてy’をdy/dxにして解いてみたんですが、y'が二つ出来てしまってうまくいきません。誰か分かる方教えてください☆
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題で
微分方程式の問題で 「a,bが任意定数のとき、次式が一般解になるような最小階数の微分方程式を示せ。 y = ax^2 + 2bx」 の答えがわかりません。 答えは一階の微分方程式で (dy/dx) + y = ax^2 + 2(a+b)x +2b となるのか 二階での微分方程式で x^2 * y" - 2xy' +2y = 0 となるのかで迷っていて、 一階の微分方程式が特殊解なのか一般解なのかの判断がつかないと言う状況です。 というのも教科書には 「限定状況を与えなければn階の微分方程式にはn個の任意定数を含む」 とあるのですがこの限定条件がわからなくて判断がつきません。 どちらが正しいのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式
微分可能な関数f(x)が, ∫[0~x]f(t)dt=x^3-3x^2+x+∫[0~x]tf(x-t)dt をみたしている. このとき, f(x)を求めよ. 与式の左辺をF(x), 右辺をG(x)とおくと, F(x)=G(x) ⇔ F'(x)=G'(x) かつ F(a)=G(a)となるような定数aが存在するー(※) F(0)=G(0)=0より, (※) ⇔ F'(x)=G'(x) h'(x)=f(x), g"(x)=f(x)とすると ∫[0~x]tf(x-t)dt=[-tf(x-t)][0~x]+∫[0~x]F(x-t)dt=-xF(0)-g(0)+g(x) より,与式の両辺をxで微分すると, f(x)=3x^2-6x+1+F(x)-F(0)=3x^2-6x+1+∫[0~x]f(t)dtー(1) 再びxで微分して, f'(x)=6x-6+f(x) f(x)=yとおくと, dy/dx=6x-6+y 6x+y=uとおくと, dy/dx=du/dx-6より, du/dx=u u≠0のとき, du/u=dx ⇔∫du/u=∫dx ⇔log|u|=x+c (c:積分定数) ⇔u=±e^(x+c) ⇔y=±e^(x+c)-6x (1)にx=0を代入して,f(0)=1 ⇔ ±e^c=1 ⇔ c=0 ∴y=±e^x-6x また, u=0のとき, y=-6xより,(1)に代入すると, -6x=3x^2-6x+1-3x^2 ⇔ 0=1となり, いかなるxについてもこれは成り立たず不適. ∴f(x)=±e^x-6x 添削お願いします.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 常微分方程式の解法について宜しくお願いします
微分方程式の初心者です、どうぞよろしくお願いします。 以下のような方程式に遭遇しました。教科書の例題を一歩進めた印象ですが、解く方法はあるのでしょうか? A,B,Cは≠0の定数です。 dy A(C - y)y -- = --------------- dx xy + B また右辺分母で x → f(x) と、一般的な関数に置き換えた形、 dy A(C - y)y -- = --------------- dx f(x)y + B の場合は解けますでしょうか?どうぞよろしく願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式の基礎問題なのですが、解がおかしい?
こんにちは。 最近。独学で微分方程式の勉強をはじめたものです。 x(dy/dx) + x + y = 0 上の式の微分方程式を解いて、 y = -1 + c/x (cは任意定数) と求まったのですが、このyを元の式に代入しても、 左辺 = x -1 となり、0になりません。。。 何が間違っているのでしょうか? 基礎問題だと思うのですが、勉強を始めたばかりでよく分かりません。。 先に進めず、困っています。どうぞよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ある微分方程式の問題について
以下の微分方程式の問題について不明点があります。 与式:y' = 1-y^2 の一般解ですが、私が解いたところ {1/(1-y^2)}y' = 1 〔変数分離〕 ∫{1/(1-y^2)}dy = ∫1dx 〔両辺をxで積分〕 (1/2)∫{1/(1+y) + 1/(1-y)}dy = ∫1dx 〔左辺を部分分数分解〕 (1/2){ln|1+y| + ln|1-y|} + c1 = x + c2 〔積分実行〕 ln|1-y^2| = 2x + c3 〔整理する〕 1-y^2 = c*e^(2x) 〔yでまとめる〕 y^2 = c*e^(2x)+1 〔一般解〕 となりました。しかし、解答を見てみると y = {(1+c*e^(-2x))/(1-c*e^(-2x))} となっていて私が出した答えとかなり違っています。 私の解答のどこが間違いが自分ではわかりせん。 間違っている点をご指摘できる方がいらっしゃいましたら是非お願いしたいと思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
問題の流れはすべて解決しました 場合分けのときに(i)ではないから残りの可能性である(ii)の場合が必要条件になるんですね 最後に一つだけ解答の書き方なのですが (ii)の場合ですが n+1≦2のとき max(n+1,2)=2 =2(右辺の最高次数)となるから成立 (i)(ii)より n+1≦2 が必要 で合ってますか? 前回 max(n+1,2)=2 の後ろの不等式について教えてくださいましたが (max(n+1,2)=2≦2とかの話です) 結局は上のように=2(右辺の最高次数)だったということですよね?