2009年京大（文系）微分方程式 続き

質問

先週も同じ質問をしたのですが、パソコンが使えなくなったので、しばらく返事できませんでした・・・。
まだ、解決できないない部分があるので、解説お願いします。

整式f(x)と実数Cが
∫[0,x]f(y)dy+∫[0,1](x+y)^2*f(y)dy=x^2+C
を満たすとき、このf(x)とCを求めよ。

という問題です。解説していただいて、解決したところまでで、自分の解答を作ってみました。

∫[0,1]f(y)dy+x^2*∫[0,1]f(y)dy+2x*∫[0,1]yf(y)dy+∫[0,1]y^2*f(y)dy
=x^2+C

f(x)をn次の整式とおくと、
（左辺の最高次数）≦ max(n+1 , 2)
（右辺の最高次数）= 2
与式はxについての恒等式であるから、（左辺の最高次数）＝（右辺の最高次数）より、
2 ≦ max(n+1 , 2)

(i) n+1＞2のとき
max(n+1 , 2)＝n+1＞2
となり、（左辺の最高次数）が3次以上で（右辺の最高次数）の2次と一致しないから、不適。

(ii) n+1≦2のとき
max(n+1 , 2)＝2≦2　となって成立。

(i)(ii)より、n+1≦2
・
・
・

と続くのですが、場合分けした(ii)の「2≦2」の部分が分かりません。（解説していただいたところです）
これはどういう意味なのでしょうか。（何を表しているか分かりません。）
何度もすみませんが、解説お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

説明上重要な箇所に誤字があり、御迷惑をお掛けしました。
前質問 ↓ 内に訂正を書いておきました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5745865.html

尚、前回も書きましたが、
f(x) = a x + b は、n = 1 よりもむしろ n ≦ 1 のほうに
よく馴染む置き方であり、この問題では、
n = 0 と n = 1 を場合わけする必要はありません。

補足

解説ありがとうございます

質問が２つあるのですが…(毎回すみません)

１)
n の範囲を場合分けして、各場合について
max(n+1,2) ≧ 2 が満たされるかどうかを
チェックするのですが、

n+1 ≦ 2 の場合は、
max(n+1,2) = 2 となるので
max(n+1,2) ≧ 2 が成立しているのです。

の部分ですが後半はわかりました
前半ですが
max(n+1,2) ≧ 2 が満たされるかどうかをチェック
するのならば(i)も満たされていませんか？
(i)はn+1＞2で
チェックする式max(n+1,2)≧2は (i)の場合だとn+1＞2またはn+1=2という意味ですよね？

２)
入試を意識して計算だけでなく
必要条件なども意識するようにしているのですが
この問題だと必要条件はmax(n+1,2)≧2で
それが十分かどうかを(i)(ii)で考えているのですか？
まだ始めたばかりなので全く的外れかもしれません…

回答No.1

info22_

前の質問のURLを引用して質問するように！

>∫[0,1]f(y)dy+x^2*∫[0,1]f(y)dy+2x*∫[0,1]yf(y)dy+∫[0,1]y^2*f(y)dy
=x^2+C
は間違いでは？
正しくは
∫[0,x]f(y)dy+x^2*∫[0,1]f(y)dy+2x*∫[0,1]yf(y)dy+∫[0,1]y^2*f(y)dy
=x^2+C　…（■）

>(ii) n+1≦2のとき
>max(n+1 , 2)＝2≦2　となって成立。
∴n+1≦2

>(i)(ii)より、n+1≦2
∴n≦1

n=0または1
n=0の時　f(x)=b(≠0)
n=1の時 f(x)=ax+b(a≠0)
と場合分けして、もとの（■）の積分方程式に代入して
f(x)を求めれば良いかと思いますが？