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微分方程式の解き方

自分でいろいろ試してみたのですが dy/dx=(x-y)^2 この方程式がどうにも解けません。 右辺を展開して dy/dx=x^2-2xy+y^2 として 変数分離系なのは分るのですが このあとがうまく変形できません。 回答は y=x+1-2(e^2x)(C+(e^2x))^(-1) と、なるそうです。 解説がなく、これを見ただけではさっぱりでした。 どなたかヒントなどのご教授お願いします。

  • t-ru
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回答No.1

z=y-x と変数変換します。すると微分方程式は dz/dx=dy/dx-1だから dz/dx=z^2-1 となります。 これは継ぎのように変形でき、簡単に積分できます。 dz/(z^2-1)=dx 1/(z^2-1)の部分を変形して、すなおに解くと y=x+(1+ke^2x)/(1-ke^2x) kは定数ですが、掲題の解答と同値の式です。すこし変形しなければなりませんが。

t-ru
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